Supply Chain Management & Distribution

Wintersemester 26/27

Thomas Kirschstein

Einführung & Organisatorisches

Organisatorisches

Dozent: Prof. Dr. Thomas Kirschstein (HS RheinMain + Fraunhofer)

Unterlagen + Materialien: https://github.com/tkirschstein/SCM_BDBM

Klausur: zusammen mit BBA-Kurs

Inverted classroom: - Studium der Inhalte vor Veranstaltung mit Folien + Reader - Ablauf Präsenz-Veranstaltungen: 1. Input: Vertiefung methodischer Komponenten -> Diskussion im Plenum 2. Rückfragen: Unklarheiten klären auf Basis von Rückfragen 3. Fallstudienlösungen: Studenten präsentieren Lösungen

Literatur

Applegate, David L., Robert E. Bixby, Vašek Chvátal, and William J. Cook. 2006. The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. Princeton University Press.

Baumast, Annett, and Jens Pape, eds. 2013. Betriebliches Nachhaltigkeitsmanagement. UTB / Verlag Eugen Ulmer.

Bray, Robert L., and Haim Mendelson. 2012. “Information Transmission and the Bullwhip Effect: An Empirical Investigation.” Management Science 58 (5): 860–75. https://doi.org/10.1287/mnsc.1110.1467.

Cachon, Gérard, and Christian Terwiesch. 2024. Matching Supply with Demand: An Introduction to Operations Management. 5th ed. McGraw Hill.

Chen, Li, and Hau L. Lee. 2012. “Bullwhip Effect Measurement and Its Implications.” Operations Research 60 (4): 771–84.

Chopra, Sunil, and Peter Meindl. 2025. Supply Chain Management: Strategy, Planning, and Operation. 8th ed. Pearson.

Christopher, Martin. 2023. Logistics & Supply Chain Management. 6th ed. Pearson.

Clarke, G., and J. W. Wright. 1964. “Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points.” Operations Research 12 (4): 568–81.

Cooper, Leon. 1968. “Solutions of Generalized Locational Equilibrium Models.” Journal of Regional Science 8 (1): 1–18. https://doi.org/10.1111/j.1467-9787.1968.tb01319.x.

Council of Supply Chain Management Professionals (CSCMP). 2013. CSCMP Supply Chain Management Definitions and Glossary of Terms. https://cscmp.org/CSCMP/Educate/SCM_Definitions_and_Glossary_of_Terms.aspx.

Croes, G. A. 1958. “A Method for Solving Traveling-Salesman Problems.” Operations Research 6 (6): 791–812.

Dantzig, George, Ray Fulkerson, and Selmer Johnson. 1954. “Solution of a Large-Scale Traveling-Salesman Problem.” Journal of the Operations Research Society of America 2 (4): 393–410.

Daskin, Mark S. 2013. Network and Discrete Location: Models, Algorithms, and Applications. 2nd ed. Wiley.

de Koster, René, Tho Le-Duc, and Kees Jan Roodbergen. 2007. “Design and Control of Warehouse Order Picking: A Literature Review.” European Journal of Operational Research 182 (2): 481–501.

Dedrick, Jason. 2012. Who Profits from Innovation in Global Value Chains? iPhones and Windmills.

Dijkstra, Edsger W. 1959. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1 (1): 269–71.

Domschke, Wolfgang. 2007. Logistik: Transport. Grundlagen, Lineare Transport- Und Umladeprobleme. 5th ed. Oldenbourg.

Domschke, Wolfgang, and Armin Scholl. 2010. Logistik: Rundreisen Und Touren. 5th ed. Oldenbourg.

Drezner, Zvi, and Horst W. Hamacher, eds. 2002. Facility Location: Applications and Theory. Springer.

Dyckhoff, Harald. 1998. Grundzüge Der Produktionswirtschaft: Einführung in Die Theorie Betrieblicher Wertschöpfung. 2nd ed. Springer.

Dyckhoff, Harald, Richard Lackes, and Joachim Reese, eds. 2008. Nachhaltige Unternehmensführung: Grundlagen Und Konzepte. Springer.

Günther, Edeltraud. 2008. Ökologieorientiertes Management: Um-(weltorientiert) Denken in Der BWL. Lucius & Lucius.

Günther, Hans-Otto, and Horst Tempelmeier. 2012. Produktion Und Logistik. 9th ed. Springer-Lehrbuch. Springer.

Hall, Randolph W. 1993. “Distance Approximations for Routing Manual Pickers in a Warehouse.” IIE Transactions 25 (4): 76–87.

Hauff, Volker, ed. 1987. Unsere Gemeinsame Zukunft: Der Brundtland-Bericht Der Weltkommission für Umwelt Und Entwicklung. Eggenkamp.

Heskett, James L. 1963. “Cube-Per-Order Index – a Key to Warehouse Stock Location.” Transportation and Distribution Management 3: 27–31.

Hitchcock, Frank L. 1941. “The Distribution of a Product from Several Sources to Numerous Localities.” Journal of Mathematics and Physics 20 (1–4): 224–30.

Hugos, Michael H. 2018. Essentials of Supply Chain Management. 4th ed. Wiley.

ISO. 2023. ISO 14083:2023 – Greenhouse Gases – Quantification and Reporting of Greenhouse Gas Emissions Arising from Transport Chain Operations. ISO, Genf.

Kik, D. 2022. Zur Modellbasierten Entscheidungsunterstützung von Unternehmen in Der Regionalen Standortplanung Und -Entwicklung. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH.

Kummer, Sebastian, Oskar Grün, and Werner Jammernegg. 2018. Grundzüge Der Beschaffung, Produktion Und Logistik. 4th ed. Pearson Deutschland GmbH.

Lahner, Jörg. 2020. “Regionalökonomie Und Standortfaktoren in Der Wirtschaftsförderung.” In Handbuch Innovative Wirtschaftsförderung, edited by Jürgen Stember, Matthias Vogelgesang, Philip Pongratz, and Alexander Fink. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-658-21404-3_31.

Miller, C. E., A. W. Tucker, and R. A. Zemlin. 1960. “Integer Programming Formulation of Traveling Salesman Problems.” Journal of the ACM 7 (4): 326–29.

Murray, Chase C., and Amanda G. Chu. 2015. “The Flying Sidekick Traveling Salesman Problem: Optimization of Drone-Assisted Parcel Delivery.” Transportation Research Part C: Emerging Technologies 54: 86–109.

Petersen, Charles G., and Roger W. Schmenner. 1999. “An Evaluation of Routing and Volume-Based Storage Policies in an Order Picking Operation.” Decision Sciences 30 (2): 481–501.

Pfohl, Hans-Christian. 2018. Logistiksysteme: Betriebswirtschaftliche Grundlagen. 9th ed. Springer Vieweg.

Ratliff, H. Donald, and Arnon S. Rosenthal. 1983. “Order-Picking in a Rectangular Warehouse: A Solvable Case of the Traveling Salesman Problem.” Operations Research 31 (3): 507–21.

Reinfeld, Nyles V., and William R. Vogel. 1958. Mathematical Programming. Prentice-Hall.

Schneider, Michael, Andreas Stenger, and Dominik Goeke. 2014. “The Electric Vehicle-Routing Problem with Time Windows and Recharging Stations.” Transportation Science 48 (4): 500–520.

SIHK zu Hagen. 2026. LKW-Maut in Deutschland: Änderungen Zum 1. Januar 2026. Https://www.ihk.de/hagen/servicemarken/branchen/verkehr/gueterverkehr/aenderungen-der-lkw-maut-in-deutschland-6059030.

Silver, Edward A., David F. Pyke, and Douglas J. Thomas. 2017. Inventory and Production Management in Supply Chains. 4th ed. CRC Press.

Smart Freight Centre. 2023. Global Logistics Emissions Council Framework for Logistics Emissions Accounting and Reporting, Version 3.0. Smart Freight Centre, Amsterdam.

Sople, Vinod V. 2011. Supply Chain Management: Text and Cases. Pearson Education.

Stadtler, Hartmut. 2000. “Supply Chain Management: An Overview.” In Supply Chain Management and Advanced Planning: Concepts, Models, Software, and Case Studies, edited by Hartmut Stadtler and Christoph Kilger. Springer.

Stindt, Dennis. 2017. “A Generic Planning Approach for Sustainable Supply Chain Management-How to Integrate Concepts and Methods to Address the Issues of Sustainability?” Journal of Cleaner Production 153: 146–63.

ten Hompel, Michael, and Thorsten Schmidt. 2010. Warehouse Management: Organisation Und Steuerung von Lager- Und Kommissioniersystemen. 4th ed. Springer.

Thonemann, Ulrich W. 2023. Operations Management. 4th ed. Pearson.

Toll Collect GmbH. 2024. Mautsätze Pro Kilometer Seit 1. Juli 2024. Https://www.toll-collect.de/de/toll_collect/bezahlen/maut_tarife/p1745_mauttarife_07_2024.html.

Toth, Paolo, and Daniele Vigo, eds. 2014. Vehicle Routing: Problems, Methods, and Applications. 2nd ed. SIAM.

Tripp, Christoph. 2024. Distributions- Und Handelslogistik. 3rd ed. Springer Gabler.

Umweltbundesamt. 2024. Emissionsdaten: Vergleich Der Durchschnittlichen Emissionen Einzelner Verkehrsmittel Im Güterverkehr. Https://www.umweltbundesamt.de/themen/verkehr/emissionsdaten.

Umweltbundesamt. 2025. Entwicklung Der Spezifischen Treibhausgas-Emissionen Des Deutschen Strommix in Den Jahren 1990–2024. Climate Change 13/2025. Umweltbundesamt.

Werner, Hartmut. 2020. Supply Chain Management: Grundlagen, Strategien, Instrumente Und Controlling. 7th ed. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-658-32429-2.

Yao, Yuliang, Yongrui Duan, and Jiazhen Huo. 2020. “On Empirically Estimating Bullwhip Effects: Measurement, Aggregation, and Impact.” Journal of Operations Management 67 (1): 5–30. https://doi.org/10.1002/joom.1090.

Aufbau der Vorlesung

Grundlagen des Supply Chain Managements
1. Aufgaben, Begriffe und Konzepte
2. Wertschöpfung, strategische Fertigung & Strategic Fit
3. Ziele, Zielkonflikte & Logistikkosten
4. Distributionsstrukturen & -kanäle
Strategische Gestaltung von Supply Chains
1. Qualitative & kontinuierliche Standortplanung
2. Diskrete Netzwerkplanung
3. Transportplanung

Unsicherheits- und Risikomanagement in Supply Chains
1. Kapazitäts- & Lagerbestandspooling
2. Newsvendor-Modell
3. Bullwhip-Effekt
Distributionslogistik
1. Lagerplanung & Kommissionierung
2. Transportmittel & Antriebe
Operative Distributionsplanung
1. Kürzeste Wege
2. Tourenplanung

Grundlagen des Supply Chain Managements

Aufgaben, Begriffe und Konzepte
Ziele & Zielkonflikte
Kosten & Management
Distributionsstrukturen

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

zentrale Begriffe, Akteure und Flüsse einer Supply Chain erläutern,
Supply Chain Management gegenüber Logistik und Beschaffung abgrenzen,
strategische, taktische und operative Entscheidungen in Supply Chains unterscheiden,
die Bedeutung von Koordination für Wertschöpfung und Wettbewerbsfähigkeit beurteilen.

Literatur zur Vertiefung

SCM-Grundlagen und Entscheidungsebenen: Kapitel 1–3 in (Chopra and Meindl 2025).
Strategien, Instrumente und Controlling im deutschsprachigen Kontext: Kapitel 1–3 in (Werner 2020).
Fallorientierte Einführung in Supply-Chain-Strukturen: Kapitel 1–3 in (Sople 2011).

Supply chains in History

Cheops and building supply chains

Cheops pyramide building started about 2620 BC, ancient height : 147 m
2.3 million stone blocks, avg. 2.5 t each
Required coordinated transport, tool inventory, and mass catering about 100,000 workers

Supply chains in History

Hannibals invasion of Italy

Invasion from Spain to Italy in 2nd Punic war
37 war elephants + 40,000 troops (incl. large cavalry)
Supply of troops and beasts need to be realized in hostile territory

Supply chains in History

Toga praetexta: Rohstoffe, Purpur und Absatz

Herstellungsprozess

%%{init: {
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  "themeVariables": {
    "fontSize": "11px"
  },
  "flowchart": {
    "nodeSpacing": 20,
    "rankSpacing": 25
  }
}}%%

flowchart TB
    A["Schafhaltung"] --> B["Schur und Sortierung<br/>der Rohwolle"]
    B --> D["Spinnen zu Wollgarn"]
    D --> E["Weben des weißen Wolltuchs"]
    E --> F["Walken, Reinigen,<br/>Bleichen, Zuschneiden"]
    F -->|"ca. 100 Sesterzen je Pfund"| H["Anbringen des Purpursaums<br/>Konfektion der Toga"]

    P2["Schneckenzucht"]
    P2 --> P3["Drüsen entnehmen<br/>(Hypobranchialdrüse)"]
    P3 --> P4["Drüsen salzen &<br/>über mehrere Tage erhitzen"]
    P4 --> P7["Wolle / Wollpartien<br/>purpur färben"]
    P7 -->|"4.000 Sesterzen je Pfund"| H

    T["Gesamtwert: 400 - 1.200 Sesterzen je Toga"]

    H ~~~ T

    classDef raw fill:#f5f1e8,stroke:#7a6a4f,color:#2b2b2b;
    classDef proc fill:#eef4fb,stroke:#5179a6,color:#112d3d;
    classDef purple fill:#f4e8fb,stroke:#7a3ea1,color:#321744;
    classDef note fill:#fff8d9,stroke:#b89b2e,color:#3a3212,stroke-width:0.01px;

    class A,B,D,E raw;
    class P2,P3,P4,P7 purple;
    class F,H proc;
    class T note;

Darstellung und Drapierung einer römischen Toga, einschließlich Toga praetexta mit Purpursaum

Produkt	Preis
Einfache weiße Toga	12 Sesterzen
Bessere weiße Toga	60 Sesterzen
Toga praetexta	800 Sesterzen

$\rightarrow$ Jahressold einfacher Soldat: 1000 Sesterzen

Rohstoff- und Absatzkarte

Supply chains in History

Gewürzhandel im 15. Jahrhundert

Magellan-Expedition der spanischen Krone von 1519 - 1522
Ziel: westlicher Seeweg zu Molukken
Start: 5 Schiffe / 260 Mann Besatzung
Ende: 1 Schiff / 18 Mann Besatzung

Wozu Supply Chain Management?

Kundennutzen entlang der Supply Chain

Logistiksysteme im Unternehmen

Supply Chain Strukturen

Netzwerkgedanke & Grundparadigma

SCM-Gewinn = Kundenumsatz – Gesamtkosten aller Prozesse/Partner = Summe der indi. Gewinne

$\rightarrow$ Optimierung der indiv . Gewinne führt i.d.R. nicht zur Optimierung des SCM-Gewinns !

Transformation

Wertschöpfung in der Supply Chain

Porter’s value chain

Definitionen des SCM

Vielfalt & gemeinsamer Kern

(Stadtler 2000, S. 9): “Supply Chain Management ist die Aufgabe, Organisationseinheiten entlang der Supply Chain zu integrieren , den Material-, Informations- und Geldfluss zu koordinieren und die Wettbewerbsfähigkeit der gesamten Supply Chain zu verbessern, um Kundenbedarfe zu erfüllen.”

(Hugos 2018): „Supply Chain Management is coordination of production , inventory , location , transportation , and information among the participants in a supply chain to achieve the best mix of responsiveness and efficiency for the market being served .”

(Council of Supply Chain Management Professionals (CSCMP) 2013): „Supply chain management encompasses the planning and management of all activities involved in sourcing and procurement, conversion, and all logistics management activities. Importantly, it also includes coordination and collaboration with channel partners, which can be suppliers, intermediaries, third party service providers, and customers. In essence, supply chain management integrates supply and demand management within and across companies .”

Unternehmen und ihre Umwelt

Offenes Unternehmensmodell

(Kummer et al. 2018)

Dispositive Ebene: behandelt den Informationsfluss im und zwischen Unternehmen, Planungsprozesse, Entscheiden und Kontrollieren (Management i.e.S.)
Finanzebene: erfasst Geld- und Zahlungsströme innerhalb und außerhalb des Unternehmens
Güterebene: erfasst die Bewegung und den Bestand physischer Güter (Roh-, Hilfs- und Betriebsstoffe) innerhalb und zwischen Unternehmen

Flüsse in Supply Chains

Supply Chain Strukturen

Fokale Supply Chain

Charakteristiken:

Fokales Unternehmen an der Engpassposition → „kontrolliert” das Netzwerk (Akteure und Struktur)
Hohe Marktmacht → kontrolliert den Marktzugang
Häufig Koordinator → legt Standards und strategische Ziele fest
Beispiele: Automobilindustrie, Apple, …

Supply Chain Strukturen

Polyzentrische Supply Chains

Charakteristiken:

Verteilte und sich überschneidende Kompetenzen
Spezialisierung und Kooperation
Keine klare Standardisierung und eher egalitäre Verteilung der Marktmacht
Beispiele: IKEA, Neste, Unilever, …

Beispiele Für Supply Chains

Aufgabe

Versuchen Sie die Struktur der Supply Chains insbesondere der Distributionsstruktur der folgenden Produkte zu beschreiben:

Eine Flasche Coca-Cola (Glas, 0,3 l)
T-Shirt von Patagonia
Gravel-Bike Waldwiesel von Urwahn
Rittersport Haselnuss

Beschreiben Sie die wesentlichen Produktionsschritte durch Angabe der verwendeten Rohstoffe, Materialien und Bauteile sowie den erzeugten (Zwischen-)Produkt(-en). Ergänzen Sie die Darstellung durch Angabe der logistischen Prozesse, die die Fertigungsstufen verbinden.

Ordnen Sie die einzelnen Prozessschritte (Produktion und Logistik) räumlich zu.

Grundlagen des SCM - Ziele & Zielkonflikte

Grundlagen des Supply Chain Managements

Aufgaben, Begriffe und Konzepte
Ziele & Zielkonflikte
Kosten & Management

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

Wertschöpfungsprozesse und die zentralen Treiber einer Supply Chain strukturieren,
die Begriffe Reaktionsfähigkeit und Effizienz erläutern,
die implizierte Unsicherheit eines Marktes und die Reaktionsfähigkeit einer Supply Chain gegenüberstellen,
den Strategic Fit einer Supply-Chain-Konfiguration beurteilen.

Literatur zur Vertiefung

Strategic Fit, Supply-Chain-Treiber und implizierte Unsicherheit: (Chopra and Meindl 2025, Kapitel 2–3).
Abstimmung von Nachfrage und operativer Leistungsfähigkeit: (Cachon and Terwiesch 2024, Kapitel 1–3).
Supply-Chain-Strategie und wertorientierte Logistik: (Christopher 2023, Kapitel 2–4).

Wertschöpfung als Prozess

Beschaffung ist der Prozess zum Einkauf und Bereit-stellung von Rohstoffen, Komponenten und Dienst-leistungen von externen Partnern, die für die Produktion von Waren und Dienstleistungen erforderlich sind.

Produktion ist ein zielgerichteter Prozess der Kombination von Gütern und Dienstleistungen in höherwertige Produkte.

Distribution umfasst die physische Verteilung von Waren vom Hersteller zum Endkunden und umfasst Lagerhaltung, Transport und Logistik von Fertigprodukten.

Absatz ist der Prozess des Verkaufs der Endprodukte an den Konsumenten oder Handelspartner.

(Chopra and Meindl 2025, Kapitel 1.5)

Strategische Fertigung

Entkopplungspunkt & Fertigungsstrategien

Strategische Fertigung

Denken in Zyklen

Kundenbestellzyklus: Verarbeitung von externen Kundenbedarfen

Distributions-/Versorgungszyklus: Umwandlung von Kundenbedarfen in interne Bedarfe an Fertigprodukten

Produktionszyklus: Umwandlung von internen Bedarfen in Produktions-bedarfe von Zwischenprodukten und Rohstoffen

Beschaffungszyklus: Gestaltung von Bestell-/Versorgungsprozessen für Rohstoffe und Dienstleistungen, die extern bezogen werden müssen

(Kummer et al. 2018, S. 45)

Strategische Fertigung

Entkopplung von Zyklen

Make-to-stock

Beispiele: Lebensmitteleinzelhandel, Drogerien, …

Make-to-order

Beispiele: Gebäude, Flugzeuge, Gemälde

(Chopra and Meindl 2025)

Strategische Ziele

Kundenzufriedenheit – Kundenerwartungen erfüllen

Strategische Ziele

Kundenzufriedenheit & Unsicherheit

Kunden und Supply-Chain-Unsicherheit

Nachfragemenge je Kundenauftrag
Lieferzeit, die von Kunden akzeptiert wird
Erwartete Produktvielfalt
Erwartete Lieferbereitschaft
Preis/Zahlungsbereitschaft
Innovationsgrad der Produkte

Nachfrageunsicherheit

Unsicherheit der Nachfrage nach einem Produkt

Implizierte Nachfrageunsicherheit

Unsicherheit desjenigen Nachfragesegments, das durch die Supply Chain bedient werden soll basierend auf den definierten Nachfrageattributen

Umgang mit Unsicherheit

Kundenbedürfnisse & implizierte Unsicherheit

Kundenbedürfnisse	Verursacht implizite Unsicherheit da …
(max.) Nachfragemengen steigen	Erhöhte Spannweite des Bedarfs größere Varianz / Schwankung der Nachfragemengen verursacht
Lieferzeit sinkt	Weniger Zeit bleibt um auf Nachfrageschwankungen zu reagieren
Anzahl angebotener Produkte erhöht	Nachfrage der einzelnen Produkte schwieriger zu prognostizieren
Lieferbereitschaftsgrad erhöht sich	Nachfragespitzen müssen nun abgefedert werden
Innovationsgrad erhöht sich	Nachfrage neuer Produkte in der Regel unbekannt oder schwer zu prognostizieren
Anzahl der Vertriebskanäle steigt	Nachfrage der einzelnen Vertriebskanäle schwieriger zu prognostizieren

Umgang mit Unsicherheit

Rollen & Risikoallokation in Supply Chain

(Chopra and Meindl 2025, S. 57)

Umgang mit Unsicherheit

Reaktionsfähigkeit / responsiveness

Reaktionsfähigkeit

ist die Fähigkeit einer Supply Chain mit Nachfrageunsicherheit umzugehen

Reaktionsfähigkiet kann u.a. erreicht werden durch:

Hohe Lagerbestände
Kurze Reaktions -/ Lieferzeiten
Hohe Produktvielfalt
Kurze Entwicklungszyklen neuer Produkte
Hohe Bereitschaftsgrade
Reduktion von Versorgungsunsicherheiten

(Chopra and Meindl 2025, S. 56)

Strategische Ziele

Reaktionsfähigkeit vs. Effizienz

Reaktionsfähigkeit

Die Reaktionsfähigkeit einer Supply Chain ist die Fähigkeit einer Supply Chain mit Nachfrageunsicherheit umzugehen

Strategische Treiber

$\rightarrow$ Reaktionsfähigkeit verursacht Kosten!

Effizienz

Effizienz einer Supply Chain ist das Inverse der Gesamtkosten einer Supply Chain, d.h. aller Kosten eines Produkts von

Strategisches Management

Supply Chain Treiber

Figure 3

Produktions- technologie
Produktportfolio
Fertigungstiefe

Transportmodi
Lagerkapazitäten
Sicherheits- bestände

Lieferanten- auswahl
Standort- kapazitäten
Stufen & Verbindungen

Preisgestaltung
Nachfrage- steuerung
Rabattierung

Informations-teilung
System- integration
Kollaborative Prognose & Planung

Strategisches Management

Teilstrategien

	Effiziente Supply Chains	Reaktive Supply Chains
Primärziel	Nachfragebefriedigung zu niedrigsten Kosten	Schnellstmögliche Nachfragebefriedigung
Produkt-Design-Strategie	Geringe Produktvielfalt , Konzentation auf einfaches Design und hohe Durchsätze	Modulare Produktentwicklung und Postponement
Preisstrategie	Niedrige Preise und Margen da Kunden preissensitiv	Höhere Preise mit höherer Marge, da Kunden wenig preissensitiv
Fertigungsstrategie	Hohe Maschinenauslastung	Freie Kapazitäten um kurzfristig Produktionsmengen ausweiten zu können
Lagerstrategie	Minimierung von (Sicherheits-)Beständen	Einrichtung von Sicherheitsbeständen zur Absicherung von Nachfrageschwankungen
Versorgungsstrategie	Reduziere Zykluszeiten solange Kosten nicht steigen	Reduziere Zykluszeiten auch wenn Kosten steigen
Beschaffungsstrategie	Lieferantenauswahl nach Kosten und Verlässlichkeit	Lieferantenauswahl nach Reaktionsfähigkeit, Geschwindigkeit, Flexibilität und Qualität

Strategisches Management

Normstrategien & SCM

Normstrategie	Vorteil	Wettbewerbsbasis	Beitrag des SCM
Kostenführer	Kosteneffiziente Produktion anstoßen	Niedrigste Preise in der Produktkategorie	Effiziente kostengünstige Infrastruktur
Innovationsführer	Marktstärke nutzen und singuläre Technologie einsetzen	Begehrte und innovative Produkte generieren	Kurze Time- to -Market sichern, Volumen steigern
Serviceführer	Service auf Kunden konsequent zuschneiden	Erwartungen kundenspezifisch erfüllen	Kundenorientierte Entwicklung ermöglichen
Qualitätsführer	Sichere und zuverlässige Produkte herstellen	Singuläre Produkteigenschaften	Verlässliche SC, Quality Assurance
Nachhaltigkeitsführer	Nachhaltige Produkte und Prozesse	Nachhaltigkeitserwartungen der Kunden erfüllen	CO2-Neutralität, Energie- und Ressourcen-Schonung

Grundlagen des SCM - Kosten & Management

Grundlagen des Supply Chain Managements

Aufgaben, Begriffe und Konzepte
Ziele & Zielkonflikte
Kosten & Management

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

zentrale ökonomische, ökologische und soziale Ziele des Supply Chain Managements benennen,
Zielkonflikte zwischen Service, Beständen, Transport, Kosten und Nachhaltigkeit analysieren,
wesentliche Komponenten von Logistikkosten erläutern und quantifizieren,
geeignete Kennzahlen zur Bewertung logistischer Entscheidungen auswählen und interpretieren.

Literatur zur Vertiefung

Zielsysteme und Kostenmodelle: (Günther and Tempelmeier 2012, Kapitel 1–3).
Leistungs- und Kostenperspektive der Distributionslogistik: (Tripp 2024, Kapitel 1–4).
Nachhaltigkeit als Unternehmensziel: (Dyckhoff et al. 2008, Kapitel 1–3).

Arten von Zielen im Unternehmen

Ebenen im Managementsystem

(Dyckhoff 1998)

Ziele im Managementsystem

Ziele in Logistik und SCM

Traditionelle Zielmetriken

Lieferzeit: Zeitspanne zwischen Auftragserteilung und Auftragserfüllung
Liefertreue: Verhältnis zwischen zugesagtem und tatsächlichem Liefertermin
Lieferqualität: Anteil qualitativ und quantitativ korrekt ausgeführter Aufträge
Flexibilität/Resilienz: Realisierbarkeit kurzfristiger Mengen-, Termin- und Spezifikationsänderungen
Information: Qualität und Transparenz der Information in allen Phasen der Auftragsabwicklung
Kosten: Effizienz aller Logistikaktivitäten, Gesamtkosten der logistischen Aktivitäten

Zieldimensionen

Konflikte & Profile

Zieldimensionen

Zielprofile

Logistikkosten

Abwägungsentscheidungen in Logistik und SCM

Transportmittel
Anzahl der Lager
Sicherheitsbestand
Losgröße

In vielen Teilbereichen der Logistik widerstreitende Kostenkomponenten $\rightarrow$ Kostenoptimum existiert (zumindest theoretisch)
Logistikmanagement heißt u.a. Entscheidungen über Logistiksysteme treffen
Transparenz der Kostenfunktionen z.T. stark eingeschränkt
- Datenverfügbarkeit
- Intertemporale Zurechenbarkeit
- Kostenträgerschaft
- Stochastizität

Logistikkosten

Beispiele

Logistikkosten

bewerteter Verzehr von Sachgütern und Dienstleistungen zum Zweck der Erbringung logistischer Dienstleistungen.

Bananen
McKinsey

Supply Chain Costing

Beispiel – Apple Video IPod 30 GB

(Dedrick 2012)

Sustainable Supply Chain management

Nachhaltigkeit als Zieldimension

Definition Nachhaltigkiet (Versuch)

Ein Gesellschaftssystem wird als nachhaltig bezeichnet, wenn es intra- als intergenerativ gerecht angesehen werden kann. Gerecht heisst „die Bedürfnisse der Gegenwart befriedigt, ohne zu riskieren, dass künftige Generationen ihre eigenen Bedürfnisse nicht befriedigen können” (Hauff 1987)

Nachhaltigkeit & nachhaltige Entwicklung

Mögliche Zieldimensionen

Inhaltsplatzhalter 13

(Baumast and Pape 2013)

Ökologischer strategic fit

Ökologieorientierung und Betroffenheit (Günther 2008)

Ökologieresistenz

Hohe Betroffenheit, aber geringe Ökologieorientierung. Typisch sind verzögernde oder minimalistische Reaktionsmuster.

SKW Piesteritz (Chemie)
nur regulatorische Mindestanpassung; ökologische Investitionen werden verschoben, Lobbyismus

Dimensionen ökologischer SCM-Strategien

(Dyckhoff et al. 2008)

Nachhaltigkeit

Allgemeine Konzepte (Ellen MacArthur Foundation)

Nachhlatigkeitspyramide

Kreislaufwirtschaft

Circular Supply Chain

Zusammenhang von linearer, reverser und zirkulärer Supply Chain

Sustainable SCM

bezeichnet die Planung, Ausführung und Kontrolle von Geschäftsprozessen unter Berücksichtigung ökonomischer, ökologischer und sozialer Ziele um die langfristige Wettbewerbsfähigkeit der Supply Chain sicherzustellen.

Sustainable Supply Chain Management

Circular Product Design
- Recyclingfähigkeit
- Wiederverwendung
- Recycled content
Sustainable logistics
- Gewichtsreduktion
- Distanzreduktion
- Transportvermeidung
Circular production
- Erneuerbare Energie
- Verwendung von Produktionsabfällen
- Kreislaufführung von Betriebs- und Hilfsstoffen

Sustainable SCM

Planungsaufgaben

(Stindt 2017)

Circular Supply Chain Management

Normstrategien

Circular Supply Chain Management

Normstrategien

Circular Supply Chain Management

Normstrategien

Circular Supply Chain Management

Normstrategien

Fallbeispiel SushiFresh GmbH

Die Geschäftsidee

SushiFresh GmbH ist ein Start-up, das täglich frisch hergestellte Sushi-Boxen in einer deutschen Metropolregion anbietet.

Versprechen: „Heute gefertigt, heute verkauft” – Sushi in Restaurantqualität, aber ohne Wartezeit
Produktion: eine zentrale Küche, Fertigung in den frühen Morgenstunden
Absatzkanal: Supermärkte (Regalverkauf)
Sortiment: ca. 12 Boxen (klassisch, vegetarisch, vegan)

Eckdaten

Haltbarkeit: max. 24–36 Stunden
Kühlkette: durchgehend 0–4 °C
Zutaten: Reis, Nori, Gemüse (regional), Lachs und Thunfisch (Import)
Nachfrage: stark schwankend (Wochentag, Wetter, Events)
Verkaufsstart: Wachstum von 3 auf 30 Verkaufsstellen geplant

Fallbeispiel SushiFresh GmbH

Diskussion

Leitfragen: Strategische Position

Welche Kundengruppen und Bedürfnisse steuern die Positionierung – Preis, Frische, Bequemlichkeit oder Nachhaltigkeit?
Wie unterscheidet sich SushiFresh von Wettbewerbern (Restaurants, Lieferdienste, Supermarkt-Sushi)?
Welche Zielkonflikte entstehen (Frische vs. Kosten vs. Ausschuss vs. Umwelt)?
Wo liegt das Unternehmen zwischen Effizienz und Reaktionsfähigkeit? Welche Zielgrößen sind strategisch wichtig?

Leitfragen: Supply-Chain-Struktur

Wie geht die Supply Chain mit schwankender Nachfrage und schnell verderblicher Ware um?
Wie lassen sich Kühlkette und Frische über die gesamte Kette sichern?
Welche Stufen und Partner gehören zur Supply Chain (Lieferanten, Küche, Logistik, Handel)?
Wie sollte die Supply Chain strukturiert werden Zentralität vs. Dezentralität?
Welche Wertschöpfungstiefe könnte SushiFresh anstreben? (z.B. eigene Logistik?)

Ziel: Erstellen Sie eine strategische Analyse des Geschäftsmodells von SushiFresh. Leiten Sie eine geeignete Struktur der Supply Chain ab.

Grundlagen des SCM - Distributionsstrukturen und -kanäle

Distributionsstrukturen und -kanäle

Distributionssystem und Lieferservice
Absatzkanäle (vertikale Struktur)
Lagerstufen und Anzahl der Lager (horizontale Struktur)
Gestaltungsoptionen und Cross-Docking

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

Absatzkanal und Logistikkanal eines Distributionssystems unterscheiden,
die Komponenten des Lieferservice benennen und mit Kennzahlen messen,
ein- und mehrstufige Distributionsstrukturen sowie Cross-Docking beschreiben und bewerten,
den Zusammenhang zwischen Anzahl der Lager, Kosten und Lieferzeit erklären.

Literatur zur Vertiefung

Distributionsnetzwerke: (Chopra and Meindl 2025); (Günther and Tempelmeier 2012).
Distributionslogistik und Lieferservice: (Pfohl 2018).

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Wohin soll die Distribution wachsen?

Heute

SushiFresh produziert in einer Küche und beliefert sechs eigene Filialen im Rhein-Main-Gebiet täglich direkt. Absatzkanal und Logistikkanal sind einfach: Hersteller → eigene Filiale → Kunde.

Wachstumsideen der Geschäftsführung

Handel: Eine Supermarktkette (RheinMarkt) möchte die Boxen in ihren Märkten listen.
Lieferdienst: Frische Boxen direkt zum Endkunden in Frankfurt.
Onlineshop: Haltbare Sushi-Kits und Zubehör bundesweit (Sushi@Home).

Fragen dieser Einheit

Welche Absatzkanäle entstehen dadurch, und wer übernimmt welche Funktion?
Welche Distributionsstruktur (Lagerstufen, Umschlagpunkte) passt zu frischer bzw. haltbarer Ware?
Welchen Lieferservice erwarten die neuen Kunden?

Fahrplan des Semesters

Diese Einheit spannt den Rahmen für das Semester auf. Wo produziert und gelagert wird, klären anschließend die Einheiten zur Standort- und Transportplanung. Wie viel Bestand trotz unsicherer Nachfrage nötig ist, behandelt der Block Unsicherheits- und Risikomanagement. Wie die Ware kommissioniert und zum Kunden gebracht wird, zeigen die Blöcke Distributionslogistik und operative Distributionsplanung.

Distributionssystem

Absatzkanal und Logistikkanal

Akquisitorische Distribution (Absatzkanal)

Wer ist am Weg zum Kunden beteiligt? Verkauf, Preis, Eigentum, Kundenbeziehung.

→ vertikale Struktur: Hersteller, Großhandel, Einzelhandel, Endkunde

Physische Distribution (Logistikkanal)

Wie fließt die Ware? Lagerstufen, Standorte, Transportwege, Umschlagpunkte.

→ horizontale Struktur: Anzahl der Stufen und der Lager je Stufe

Absatzkanal und Logistikkanal müssen nicht identisch sein. Beim Streckengeschäft verkauft der Händler, aber der Hersteller liefert direkt an den Endkunden. Bei RheinMarkt ist der Absatzkanal festgelegt (Handel), der Logistikkanal ist die offene Frage.

Ziel des Distributionssystems: einen angestrebten Lieferservice zu möglichst geringen Kosten erreichen. Die Planungsaufgaben reichen von strategisch (Struktur, Standorte, Einheiten zur Standortplanung) bis operativ (Touren, Kommissionierung, Einheiten der Distributionslogistik).

Lieferservice

Was der Kunde von der Distribution erwartet

Komponente	Leitfrage	Kennzahl	RheinMarkt erwartet
Lieferzeit	Wie lange vom Auftrag bis zur Ankunft?	Ø Lieferzeit, Anteil Same-Day	Ware morgens im Regal
Lieferzuverlässigkeit	Wird der zugesagte Termin eingehalten?	Termintreue, OTIF	vor Ladenöffnung (8 Uhr)
Lieferfähigkeit	Ist die bestellte Ware vorrätig?	α-/β-Servicegrad (vertieft in Pooling und Newsvendor)	keine leeren Regale
Lieferbeschaffenheit	Kommt die richtige Ware in richtiger Menge und unbeschädigt an?	Fehlerquote, Reklamationen	Kühlkette, Haltbarkeit
Lieferflexibilität	Kann auf Sonderwünsche reagiert werden (Zeitfenster, Mengen)?	Anteil erfüllter Sonderwünsche	Nachlieferung mittags
Information	Weiß der Kunde, wo seine Sendung ist?	Tracking, Avis	Lieferavis an Marktleiter

OTIF (on time, in full) fasst Zuverlässigkeit und Vollständigkeit zusammen: Anteil der Lieferungen, die pünktlich und vollständig ankommen. Handelsketten vereinbaren OTIF-Ziele häufig vertraglich, oft mit Vertragsstrafen.

Absatzkanäle

Direkter und indirekter Vertrieb

Kanal	Kette	Beispiel
Direkt (Nullstufe)	Hersteller → Endkunde	SushiFresh-Filialen, Lieferdienst
Einstufig indirekt	Hersteller → Einzelhandel → Endkunde	SushiFresh → RheinMarkt
Zweistufig indirekt	Hersteller → Großhandel → Einzelhandel → Endkunde	Getränke über Getränkefachgroßhandel

Funktionen von Zwischenstufen

Sortimentsbildung, Mengenausgleich (große Lieferungen → kleine Abnahmen), Lagerhaltung, Finanzierung, Marktkenntnis, Kundenkontakt.

Abwägung für den Hersteller

direkt: volle Kontrolle über Preis, Marke, Kundendaten und Marge, aber eigene Logistik und Kundenakquise
indirekt: Reichweite und Logistik des Handels, aber Margenabgabe, Abhängigkeit und Listungsgebühren

Kanalkonflikte

Wenn SushiFresh dieselben Boxen in eigenen Filialen und bei RheinMarkt anbietet, konkurrieren die Kanäle um dieselben Kunden. Mögliche Antwort: unterschiedliche Sortimente oder Preise je Kanal.

Physische Distributionsstrukturen

Lagerstufen

Struktur	Vorteil	Nachteil	typisch für
Direkt ab Werk	keine Lagerkosten, keine Umschlagstufe	viele kleine Sendungen, lange Wege	Großkunden, volle Ladungen
Zentrallager	Bestand gebündelt (Pooling), einfache Steuerung	lange Auslieferstrecken	mittelgroße Länder, Spezialsortimente
Zentral- + Regionallager	kurze Lieferzeiten, gebündelte Hauptläufe	mehr Bestand und Umschlag, komplexere Steuerung	Lebensmittelhandel, Ersatzteile
Cross-Docking	Bündelung ohne Lagerbestand, schneller Durchlauf	hohe Synchronisationsanforderung	Frische, Handelslogistik, KEP

Wie viele Lager?

Kosten und Lieferzeit in Abhängigkeit von der Lageranzahl

Gegenläufige Effekte

Lager- und Bestandskosten steigen mit der Zahl der Lager (Bestand nach dem Wurzelgesetz, Herleitung in der Einheit Pooling).
Auslieferkosten sinken, weil die Kunden näher am Lager liegen.
Die Lieferzeit sinkt mit jedem zusätzlichen Lager.

Im Beispiel liegt das Kostenminimum bei 4 Lagern. Eine kürzere Lieferzeit erfordert mehr Lager, das ist ein Zielkonflikt zwischen Kosten und Service (Einheit Ziele und Logistikkosten). Wo die Lager stehen sollen, beantwortet später das Warehouse Location Problem in der Standortplanung.

Distributionsnetzwerke im Handel

Gestaltungsoptionen nach Chopra and Meindl (2025)

Option	Beschreibung	Lieferzeit	Bestand	Transportkosten	Geeignet für
Herstellerlager, Direktversand	Händler verkauft, Hersteller verschickt direkt	lang	niedrig (gebündelt)	hoch je Sendung	breites Sortiment, wenig Nachfrage je Artikel
Streckengeschäft mit Zusammenführung	Teile mehrerer Hersteller werden unterwegs zu einer Sendung vereint	lang	niedrig	mittel	Konfiguration, Elektronik
Händlerlager, Paketversand	Händler lagert und verschickt per KEP-Dienst	mittel	mittel	mittel	Standard-Onlinehandel
Händlerlager, eigene Zustellung	Händler stellt mit eigener Flotte zu (letzte Meile)	kurz	hoch	sehr hoch	Lebensmittel, sperrige Güter
Lager mit Abholung durch Kunden	Ware wird an Abholpunkte gebracht (Paketstation, Pick-up-Point)	mittel	mittel	niedrig bis mittel	preissensible Kunden, Städte
Filiale mit Abholung (Click & Collect)	Bestand im Laden, online reserviert oder bestellt	sehr kurz	hoch	niedrig	Mode, Elektronik, Frische

Es gibt keine allgemein beste Struktur. Die Wahl folgt dem Produkt (Wert, Haltbarkeit, Nachfragevolumen) und dem geforderten Lieferservice, also wieder dem Strategic Fit.

Cross-Docking

Umschlag ohne Lagerung

Cross-Docking: Eingehende Sendungen mehrerer Lieferanten werden am Umschlagpunkt ohne Einlagerung (in der Regel < 24 h) nach Empfängern umsortiert und in gebündelten Touren ausgeliefert.

Varianten

einstufig (pre-distribution): Lieferant kommissioniert bereits je Filiale, das Cross-Dock schlägt nur um
zweistufig (post-distribution): Lieferant liefert sortenrein, das Cross-Dock kommissioniert auf Filialen

Voraussetzungen

hohe, stabile Volumina je Relation
zeitliche Synchronisation von Anlieferung und Auslieferung (Zeitfenster-Management)
verlässliche Lieferanten (Menge, Qualität, Pünktlichkeit)
Informationsaustausch vor Ankunft (Lieferavis, EDI)

Risiko

Verspätet sich ein Lieferant, verzögern sich alle abgehenden Touren oder die Filiale bekommt ihre Ware nicht. Fehlender Bestand als Puffer ist Vorteil und Risiko zugleich.

Kernaussagen

Das Wichtigste in Kürze

Ein Distributionssystem hat eine vertikale Struktur (Absatzkanäle: wer verkauft?) und eine horizontale Struktur (Logistikkanal: Lagerstufen, Umschlagpunkte). Beide müssen nicht übereinstimmen.
Ziel ist ein angestrebter Lieferservice (Lieferzeit, Zuverlässigkeit, Lieferfähigkeit, Beschaffenheit, Flexibilität, Information) zu minimalen Kosten.
Mehr Lager bedeuten kürzere Lieferzeiten und Auslieferwege, aber mehr Fix- und Bestandskosten (Wurzelgesetz, siehe Einheit Pooling). Wo die Lager stehen, klärt die anschließende Standortplanung.
Cross-Docking bündelt Warenströme ohne Lagerbestand, verlangt aber eine enge Synchronisation.
Die passende Struktur folgt dem Produkt und dem geforderten Service (Strategic Fit).

Übung

Übungsaufgaben zu dieser Einheit

Aufgaben zur Klausurvorbereitung (Teil 1) und eine vertiefende Fallstudie (Teil 2) finden Sie in Fallstudie 1: Grundlagen des Supply Chain Managements.

Strategische Gestaltung von Supply Chains

Multikriterielle Standortplanung
Kontinuierliche Standortplanung
Diskrete Standortplanung
Transportplanung

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

Standortentscheidungen im strategischen Supply-Chain-Design einordnen,
qualitative Standortfaktoren systematisch erfassen und bewerten,
das AHP-Verfahren und Nutzwertverfahren erläutern und anwenden,
die Eigenschaften unterschiedlicher Distanzmetriken erläutern und diese berechnen,
kontinuierliche Standortverfahren auf einfache Entscheidungsprobleme anwenden und interpretieren.

Literatur zur Vertiefung

Modellgestützte regionale Standortplanung und -entwicklung: (Kik 2022).
Standortplanung und kontinuierliche Entscheidungsmodelle: (Thonemann 2023, Kapitel 3).
Kontinuierliche Standortmodelle und lokale Gleichgewichte: (Cooper 1968).

Planung im Supply Chain Management

Supply Chain Planning Matrix

Strategische Netzwerkplanung

Zielstellung der Standortplanung

Entscheidung über Standort von:

Auslieferungslägern
Fabriken
Verkaufsstandorten
Versorgungslägern
…

Strategische Netzwerkplanung

Phasen der Standortwahl

(Chopra and Meindl 2025)

Strategische Netzwerkplanung

Standortplanungsprozess

(Kik 2022)

Auf globaler Ebene Optionen meist überschaubar (Kontinent/Land) $\rightarrow$ Faktoren stark vereinfacht und aggregiert $\rightarrow$ unspezifisch, Ziel ist strategische Passfähigkeit
Auf regionaler Ebene Ziel optimalen Standort identifizieren $\rightarrow$ präzisere Anforderungen

Strategische Netzwerkplanung

Standortfaktoren

(Lahner 2020)

Bewertung von Standorten für Ansiedlungen oft schwierig
kurzfristig irreversible $\rightarrow$ Pfadabhängigkeiten
Mehrdimensional $\rightarrow$ Auswirkungen auf Zielsystem schwer zu überblicken
Subjektiv $\rightarrow$ Einschätzung zu weichen Faktoren oft schwankend & Bedeutung wird unterschiedlich gewichtet

Strategische Netzwerkplanung

Methoden der Standortplanung

Merkmale von Optimierungsmodellen (Kik 2022)

Qualitative Verfahren $\rightarrow$ heuristische, meist umfragebasierte Verfahren $\rightarrow$ Stimmungsbild und Sammlung individueller Einschätzungen
Quantitative Verfahren
- Optimierung: Entscheidungsraum (Optionen) und eindimensionales Zielsystem nötig
- Simulation: komplex, schwer übertragbar,mehrdimensional
- Spielthorie: Antizipation des Konkurrentenverhalten $\rightarrow$ Absatzmaximierung
- Investitionsrechnung: ausschließlich monetäre Größen (Optimierung)

Strategische Netzwerkplanung

Fallstudie: SushiFresh GmbH

SushiFresh GmbH ist ein fiktiver regionaler Hersteller frischer Sushi-Boxen im Rhein-Main-Gebiet, der täglich sechs Supermarkt-Filialen beliefert. Diese Fallstudie begleitet uns durch dieses und die folgenden Kapitel.

SushiFresh prüft, ob sich zusätzlich zur Auslieferung eine eigene Produktionsstätte lohnt, und hat drei Kandidatengrundstücke identifiziert.

# Sechs Filialen: Koordinaten, Tagesnachfrage mu und Standardabweichung sigma
filialen <- tibble(
  Filiale = c("Wiesbaden", "Mainz", "Frankfurt", "Ruesselsheim", "Darmstadt", "Offenbach"),
  lat   = c(50.0782, 50.0000, 50.1109, 49.9904, 49.8728, 50.0956),
  lon   = c(8.2398,  8.2711,  8.6821,  8.4116,  8.6512,  8.7761),
  mu    = c(120, 150, 280, 90, 110, 95),
  sigma = c(25, 30, 55, 20, 24, 22)
)

# Drei Kandidatenstandorte fuer die Produktionsstaette
standorte <- tibble(
  Standort = c("Wiesbaden-Erbenheim", "Mainz-Hechtsheim", "Raunheim"),
  lat = c(50.0632, 49.9698, 50.0000),
  lon = c(8.2999,  8.2831,  8.4650),
  Fixkosten = c(180000, 210000, 260000)
)

sum(filialen$mu)  # Gesamtnachfrage: 845 Boxen/Tag

[1] 845

Qualitative Standortplanung

Nutzwertanalyse

Vorgehen

Relevante Bewertungskriterien festlegen
Kriteriengewichte bestimmen
Alternativen je Kriterium bewerten
Gewichtete Teilnutzwerte zum Gesamtnutzwert aggregieren
Alternativen nach Gesamtnutzwert rangordnen

Kritische Punkte

Additives Modell nur eingeschränkt interpretierbar
Schlechte Ausprägungen können durch gute kompensiert werden
Nutzenunabhängigkeit der Kriterien oft fraglich
Ergebnisse reagieren empfindlich auf die Gewichtung
Gefahr der Zielaufspaltung

Fallbeispiel

SushiFresh bewertet die drei Kandidatenstandorte Wiesbaden-Erbenheim, Mainz-Hechtsheim und Raunheim für die neue Produktionsstätte anhand der Kriterien Transportnähe, Mietkosten und Fachkräfteverfügbarkeit, die hier aus Vereinfachungsgründen gleich gewichtet werden.

Die Konstellation ist bewusst so gewählt, dass sich sehr unterschiedliche Standortprofile ergeben: Wiesbaden-Erbenheim ist stark bei den Mietkosten, Raunheim bei der Transportnähe, während Mainz-Hechtsheim bei den Fachkräften vorn liegt.

Gerade dieses Beispiel zeigt die Schwäche der additiven Nutzwertanalyse: Trotz klar unterschiedlicher Stärken- und Schwächenprofile können alle Alternativen denselben Gesamtnutzwert erreichen.

Qualitative Standortplanung

Nutzwertanalyse in R: Code und Ergebnistabelle

library(dplyr)
library(knitr)

# Tabelle mit Rohdaten der Fallstudie (drei Kriterien, gleich gewichtet)
nwa <- tibble(
  Kriterium = c(
    "Transportnaehe",
    "Mietkosten",
    "Fachkraefteverfuegbarkeit"
  ),
  Gewicht = c(1/3, 1/3, 1/3),
  `WI-Erb`  = c(5, 8, 2),
  `MZ-Hech` = c(2, 5, 8),
  Raunheim  = c(8, 2, 5)
)

# Berechne Nutzwerte der Standorte
nutzwert <- c(
    `WI-Erb`  = sum(nwa$Gewicht * nwa$`WI-Erb`),
    `MZ-Hech` = sum(nwa$Gewicht * nwa$`MZ-Hech`),
    Raunheim  = sum(nwa$Gewicht * nwa$Raunheim)
  )

# Verbinde Rohdaten und Nutzwerte in einer Tabelle
nwa <- bind_rows(nwa, nutzwert)

# Setze Namen Nutzwert in Zeile 4 und Spalte Kriterium
nwa$Kriterium[4] <- "Nutzwert"

# Gib Tabelle aus
nwa |>
  mutate(
    Gewicht = ifelse(is.na(Gewicht), "", sprintf("%.2f", Gewicht)), # Stelle 2 Nachkommastellen dar
    `WI-Erb` = sprintf("%.1f", `WI-Erb`),
    `MZ-Hech` = sprintf("%.1f", `MZ-Hech`),
    Raunheim = sprintf("%.1f", Raunheim)
  ) |>
  kable(
    col.names = c("Kriterium", "Gewichtung", "WI-Erb", "MZ-Hech", "Raunheim"),
    format = "html",
    align = c("l", "c", "c", "c", "c")
  )

Kriterium	Gewichtung	WI-Erb	MZ-Hech	Raunheim
Transportnaehe	0.33	5.0	2.0	8.0
Mietkosten	0.33	8.0	5.0	2.0
Fachkraefteverfuegbarkeit	0.33	2.0	8.0	5.0
Nutzwert		5.0	5.0	5.0

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode)

Ablauf

Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Alternativen im Hinblick auf die Bewertungskriterien.
Bilde für jedes Bewertungskriterium ein Alternativenranking (Synthese).
Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Bewertungskriterien.
Bilde ein Ranking der Bewertungskriterien (Synthese).
Berechne den Scoring-Wert für die Alternativen.

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Beispiel

Fallbeispiel

SushiFresh vergleicht die drei Kandidatenstandorte Wiesbaden-Erbenheim (W-E), Mainz-Hechtsheim (M-H) und Raunheim (R) nun paarweise statt über direkt geschätzte Punktwerte. Folgende Bewertungskriterien werden herangezogen.

Transportnähe: Distanz zu den sechs Filialen
Mietkosten: jährliche Fixkosten des Grundstücks
Fachkräfteverfügbarkeit: Zugang zu Gastronomie-/Lebensmittelfachkräften

Bewertungsskala

Präferenz	Wert
Gleich	1
Gleich bis leicht bevorzugt	2
leicht bevorzugt	3
leicht bis deutlich bevorzugt	4
deutlich bevorzugt	5
deutlich bis stark bevorzugt	6
stark bevorzugt	7
Stark bis extrem bevorzugt	8
Extremely preferred	9

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Beispiel

Ablauf

Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Alternativen im Hinblick auf die Bewertungskriterien.
Bilde für jedes Bewertungskriterium ein Alternativenranking (Synthese).
Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Bewertungskriterien.
Bilde ein Ranking der Bewertungskriterien (Synthese).
Berechne den Scoring-Wert für die Alternativen.

Transportnähe

site	W-E	M-H	R
W-E	1	2	1/2
M-H	1/2	1	1/3
R	2	3	1

Mietkosten

site	W-E	M-H	R
W-E	1	2	4
M-H	1/2	1	2
R	1/4	1/2	1

Fachkräfte

site	W-E	M-H	R
W-E	1	1/7	2
M-H	7	1	5
R	1/2	1/5	1

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Beispiel

Ablauf

Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Alternativen im Hinblick auf die Bewertungskriterien.
Bilde für jedes Bewertungskriterium ein Alternativenranking (Synthese).
Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Bewertungskriterien.
Bilde ein Ranking der Bewertungskriterien (Synthese).
Berechne den Scoring-Wert für die Alternativen.

Transportnähe — Synthese (Berechnung des größten Eigenvektors)

Spaltensummen

site	W-E	M-H	R
W-E	1	2	1/2
M-H	1/2	1	1/3
R	2	3	1
$\sum$	7/2	6	11/6

Normierung

site	W-E	M-H	R
W-E	2/7	1/3	3/11
M-H	1/7	1/6	2/11
R	4/7	1/2	6/11
$\sum$	1	1	1

Konsolidierung

site	W-E	M-H	R	$\varnothing$
W-E	0.29	0.33	0.27	0.297
M-H	0.14	0.17	0.18	0.163
R	0.57	0.50	0.55	0.540
$\sum$	1	1	1	1

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Beispiel

Ablauf

Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Alternativen im Hinblick auf die Bewertungskriterien.
Bilde für jedes Bewertungskriterium ein Alternativenranking (Synthese).
Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Bewertungskriterien.
Bilde ein Ranking der Bewertungskriterien (Synthese).
Berechne den Scoring-Wert für die Alternativen.

Präferenzvektoren aller Standorte für alle Kriterien

site	Transportnähe	Mietkosten	Fachkräfte
WI-Erb	0.297	0.571	0.160
MZ-Hech	0.163	0.286	0.730
Raunheim	0.540	0.143	0.110

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Beispiel

Ablauf

Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Alternativen im Hinblick auf die Bewertungskriterien.
Bilde für jedes Bewertungskriterium ein Alternativenranking (Synthese).
Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Bewertungskriterien.
Bilde ein Ranking der Bewertungskriterien (Synthese).
Berechne den Scoring-Wert für die Alternativen.

Kriterium	Transportnähe	Mietkosten	Fachkräfte
Transportnähe	1	3	2
Mietkosten	1/3	1	1/5
Fachkräfte	1/2	5	1
$\sum$	11/6	9	16/5

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Beispiel

Ablauf

Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Alternativen im Hinblick auf die Bewertungskriterien.
Bilde für jedes Bewertungskriterium ein Alternativenranking (Synthese).
Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Bewertungskriterien.
Bilde ein Ranking der Bewertungskriterien (Synthese).
Berechne den Scoring-Wert für die Alternativen.

Nach demselben Verfahren (geometrisches Mittel der Zeilen, dann normieren) wie auf der vorherigen Folie für die Standorte ergibt sich für die drei Kriterien:

Kriterium	Transportnähe	Mietkosten	Fachkräfte	$\varnothing$
Transportnähe	6/11	1/3	10/16	0.501
Mietkosten	2/11	1/9	1/16	0.118
Fachkräfte	3/11	5/9	5/16	0.380
$\sum$	1	1	1	1

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Beispiel

Ablauf

Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Alternativen im Hinblick auf die Bewertungskriterien.
Bilde für jedes Bewertungskriterium ein Alternativenranking (Synthese).
Bilde paarweise Vergleiche zwischen allen Bewertungskriterien.
Bilde ein Ranking der Bewertungskriterien (Synthese).
Berechne den Scoring-Wert für die Alternativen.

$\left( \begin{array}{ccc} 0.297 & 0.571 & 0.160 \\ 0.163 & 0.286 & 0.730 \\ 0.540 & 0.143 & 0.110 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0.501\\ 0.118\\ 0.380 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0.280\\ 0.390\\ 0.330 \end{array} \right) \begin{array}{c} \text{= Score WI-Erb}\\ \text{= Score MZ-Hech}\\ \text{= Score Raunheim} \end{array}$

Ergebnis: Beste Alternative ist Mainz-Hechtsheim — allerdings nur knapp vor Raunheim!

Vorteile AHP

Paarweises Vergleichen erhöht die Transparenz und vereinfacht die Rangbildung zwischen Alternativen.
AHP bietet der “Voreingenommenheit” von Entscheidern weniger Angriffsfläche als die Nutzwertanalyse.
Irrationale Beurteilungen der Entscheider können durch einen Konsistenzindex erfasst werden

Qualitative Standortplanung

Analytical Hierarchy Process (AHP Methode) - Konsistenzindex

Produkt aus nicht-normalisierter Präferenzmatrix und Präferenzvektor (Kriterienvergleich): \[\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 1\!/\!3 & 1 & 1\!/\!5 \\ 1\!/\!2 & 5 & 1 \\ \end{array} \right)\times\left(\begin{array}{c} 0.501\\ 0.118\\ 0.380\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1.615 \\ 0.361\\ 1.221\\ \end{array}\right)\]
Dividiere den Vektor komponentenweise durch die Präferenzwerte: \[\begin{align*} 1.615 / 0.501 &= 3.224\\ 0.361 / 0.118 &= 3.059\\ 1.221 / 0.380 &= 3.212\\ \text{average }\bar{P} &= 3.165 \end{align*}\]
Berechne den Konsistenzindex mit $n=3$ durch \[ KI =\frac{\bar{P}- n}{n-1} = \frac{3.165-3}{2} = 0.082. \]
Berechne die Konsistenzrate mit dem Random Index $RI$ (für $n=3$: $RI = 0.58$): \[ CR = \frac{KI}{RI} = \frac{0.082}{0.58} = 0.14. \]

Interpretation

$\bar{P}$ ist der größte Eigenwert der Präferenzmatrix. Bei $KI=0$ ist sie perfekt konsistent. Geprüft wird aber die Konsistenzrate: Faustregel $CR < 0{,}1$. Mit $CR \approx 0{,}14$ ist die Kriterienmatrix nicht hinreichend konsistent – die Paarvergleiche sollten überprüft werden.

$RI$ nach Saaty: $n=3$: 0,58; $n=4$: 0,90; $n=5$: 1,12

Strategische Gestaltung von Supply Chains

Multikriterielle Standortplanung
Kontinuierliche Standortplanung
Diskrete Standortplanung

Kontinuierliche Standortplanung

Neoklassische Standorttheorie – Steiner-Weber-Modell

Annahmen

Eine homogene Ebene (Absatzgebiet), in der sich eine endliche Anzahl von Kundenstandorten befindet.
Nachfragemengen sind für jeden der Kundenstandorte gegeben und muss vollständig bedient werden.
Eine Transportkostenfunktion, die von der Transportentfernung und der Transportmenge abhängt.
Zeit wird nicht betrachtet

Ziel

Gesucht ist der transportkostenminimale Standort für eine Produktions-, Lager- oder Umschlagsstelle im Absatzgebiet — bei SushiFresh: der ideale Punkt im Rhein-Main-Gebiet für die neue Produktionsstätte, unabhängig von den drei konkret verfügbaren Grundstücken.

Kontinuierliche Standortplanung

Neoklassische Standorttheorie – Steiner-Weber-Modell

Modellformulierung

Bestimme Koordinaten $(x,y)$ im Absatzgebiet, die die gewichtete gesamte Transportdistanz zu den Kundenstandorten minimieren.

\[ \min\; Z(x,y) = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot d\big((x,y),(u_i,v_i)\big) \]

Entscheidungsvariable

$(x,y)$: Koordinaten des zu bestimmenden Standorts.

Parameter

$(u_i,v_i)$: Koordinaten von Kundenstandort $i$.
$a_i$: Nachfrage von Kundenstandort $i$, bei SushiFresh: Boxen pro Tag.
$d(\cdot)$: verwendetes Distanzmaß.

Distanzmaße

Euklidische Distanz: $d = \sqrt{(x-u_i)^2 + (y-v_i)^2}$
Manhattan-Distanz: $d = |x-u_i| + |y-v_i|$
Straßendistanzen: kürzeste Wege in einem Verkehrsnetz.

Kontinuierliche Standortplanung

Steiner-Weber-Modell bei euklidischer Distanz

Iterativer Lösungsansatz

Für gegebene Kundenstandorte $(u_i,v_i)$ und Gewichte $a_i$ gilt mit

\[ g_i(x,y)=\frac{a_i}{\sqrt{(x-u_i)^2+(y-v_i)^2}} \]

die Update-Regel

\[ x_{t+1}=\frac{\sum_{i=1}^n u_i\, g_i(x_t,y_t)}{\sum_{i=1}^n g_i(x_t,y_t)}, \qquad y_{t+1}=\frac{\sum_{i=1}^n v_i\, g_i(x_t,y_t)}{\sum_{i=1}^n g_i(x_t,y_t)}. \]

Weiszfeld-Algorithmus (vereinfacht)

Wähle eine Startlösung $(x_0,y_0)$, z. B. den gewichteten Schwerpunkt.
Berechne mit der Update-Regel einen neuen Standort.
Wiederhole den Schritt bis die Änderung kleiner als eine Toleranz ist.

Umsetzung in R

steiner_weber_euclid <- function(data, x0 = NULL, y0 = NULL,
                                 tol = 1e-6, max_iter = 1000) {
  # data muss die Spalten u, v und a enthalten:
  # u = x-Koordinate der Kunden
  # v = y-Koordinate der Kunden
  # a = Nachfragegewicht

  stopifnot(all(c("u", "v", "a") %in% names(data)))

  # Startwert: gewichteter Schwerpunkt, falls nichts vorgegeben ist
  if (is.null(x0)) x0 <- sum(data$a * data$u) / sum(data$a)
  if (is.null(y0)) y0 <- sum(data$a * data$v) / sum(data$a)

  x <- x0
  y <- y0

  history <- data.frame(
    iter = 0,
    x = x,
    y = y,
    delta = NA_real_
  )

  for (t in 1:max_iter) {
    # Abstand des aktuellen Standorts zu jedem Kunden
    d <- sqrt((x - data$u)^2 + (y - data$v)^2)

    # Iterationsgewichte gemäß Weiszfeld-Algorithmus
    g <- data$a / d

    # Aktualisierung der Koordinaten
    x_new <- sum(data$u * g) / sum(g)
    y_new <- sum(data$v * g) / sum(g)

    # Änderung zwischen zwei Iterationen
    delta <- sqrt((x_new - x)^2 + (y_new - y)^2)

    history <- rbind(
      history,
      data.frame(iter = t, x = x_new, y = y_new, delta = delta)
    )

    # Abbruch bei hinreichend kleiner Änderung
    if (delta < tol) {
      return(list(
        x = x_new,
        y = y_new,
        iter = t,
        converged = TRUE,
        history = history
      ))
    }

    x <- x_new
    y <- y_new
  }

  list(
    x = x,
    y = y,
    iter = max_iter,
    converged = FALSE,
    history = history
  )
}

Hinweise

Nahe Kunden mit hoher Nachfrage erhalten im Iterationsschritt ein hohes Gewicht $\rightarrow$ Standort verschiebt sich in diese Richtung
Startwert zweckmäßig: gewichteter Schwerpunkt.
Abbruch: kleine Positionsänderung oder maximale Iterationszahl.

Kontinuierliche Standortplanung

Steiner-Weber-Modell bei euklidischer Distanz - Beispiel

Animation des Iterationsverlaufs

Eingabedaten

Filiale	Standort (u_i,v_i)	Nachfrage a_i
Wiesbaden	(8.2398; 50.0782)	120
Mainz	(8.2711; 50.0000)	150
Frankfurt	(8.6821; 50.1109)	280
Ruesselsheim	(8.4116; 49.9904)	90
Darmstadt	(8.6512; 49.8728)	110
Offenbach	(8.7761; 50.0956)	95

Iterationen

Iteration t	Standort (x,y)	Abweichung
0	(8.7500; 49.8500)	---
1	(8.5959; 50.0087)	0.2212
2	(8.5851; 50.0443)	0.0372
3	(8.5868; 50.0536)	0.0095
4	(8.5904; 50.0565)	0.0046
5	(8.5937; 50.0581)	0.0037

Kontinuierliche Standortplanung

euklidisches Steiner-Weber-Modell — Short cut

Center of gravity

Das Center of Gravity ist eine Schwerpunkt-Approximation des euklidischen Steiner-Weber-Problems (hier: Laengen-/Breitengrad naeherungsweise als planare Koordinaten behandelt):

\[ x^{CoG} = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i u_i}{\sum_{i=1}^{n} a_i}, \qquad y^{CoG} = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i v_i}{\sum_{i=1}^{n} a_i}. \] Für das SushiFresh-Beispiel gilt:

\[ (x^{CoG}, y^{CoG}) = (8.5241; 50.0410). \]

Das Center of Gravity ist schnell berechenbar, aber nur eine Approximation: Der iterative Steiner-Weber-Standort weist im Beispiel eine geringere nachfragegewichtete Gesamt-Haversine-Distanz auf (1.4016^{4} vs. 1.409^{4} Box-km).

Kontinuierliche Standortplanung

Steiner-Weber-Modell mit Manhattan-Distanzen

Steiner-Weber-Modell mit Manhattan-Distanzen

Bestimme Koordinaten $(x,y)$ im Absatzgebiet, die die gewichtete gesamte Transportdistanz zu den Kundenstandorten minimieren.

\[ \min \; Z(x,y) = \sum_{i=1}^{n} a_i \left( |x-u_i| + |y-v_i| \right) = \sum_{i=1}^{n} a_i |x-u_i| + \sum_{i=1}^{n} a_i |y-v_i| \]

Algorithmus für den optimalen Standort

Bestimme für jede Dimension den gewichteten Median — hier beispielhaft für die $x$-Koordinate (Längengrad):

Sortiere die Filialen nach aufsteigenden $u_i$-Koordinaten.
Bestimme die kumulierte Nachfrage $A_j = \sum_{i=1}^{j} a_i$.
Wähle den ersten Kunden mit $A_j \geq \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} a_i$.
Seine $u_i$-Koordinate ist die optimale $x$-Koordinate.

Für das SushiFresh-Beispiel ergibt sich: \[ (x^*, y^*) = (8.6512; 50.0782) \]

Strategische Gestaltung von Supply Chains - Warehouse Location Planning

Strategische Gestaltung von Supply Chains

Multikriterielle Standortplanung
Kontinuierliche Standortplanung
Diskrete Standortplanung
Transportplanung

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

diskrete Standort- und Netzwerkplanungsprobleme formulieren,
Transport-, Umschlags- und Standortentscheidungen in einem Netzwerk modellieren,
zentrale Entscheidungsvariablen, Zielfunktionen und Nebenbedingungen interpretieren,
Ergebnisse diskreter Netzwerkmodelle für strategische Standortentscheidungen bewerten.

Literatur zur Vertiefung

Transport-, Umschlags- und Netzwerkmodelle: (Günther and Tempelmeier 2012, Kapitel 4).
Diskrete Standortmodelle, Algorithmen und Anwendungen: Kapitel 1–4 in (Daskin 2013).
Theorie und Anwendungen der Standortplanung: (Drezner and Hamacher 2002).

Planung von Distributionsnetzen

Einordnung

$\rightarrow$ Wähle konkrete Standorte im Netzwerk aus $\rightarrow$ in der Regel begrenzte Betrachtung der SC

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Ausgangslage

Problemstellung

Die SushiFresh GmbH beliefert täglich sechs Supermarkt-Filialen im Rhein-Main-Gebiet mit frisch produzierten Sushi-Boxen. In Kapitel 4 wurde bereits eine qualitative Standortvorauswahl per AHP durchgeführt (Ergebnis: Mainz-Hechtsheim knapp vorn) sowie eine kontinuierliche Standortoptimierung (Center of Gravity/Weiszfeld). Nun stellt sich die Frage: Hält dieses Ergebnis auch einer kostenbasierten Prüfung stand?

Rückblick Kapitel 4

AHP-Bewertung: Raunheim knapp vorn
Center of Gravity / Weiszfeld: Optimalpunkt mitten im Rhein-Main-Gebiet, nahe Raunheim
Offene Frage: Bestätigt eine Kostenoptimierung (Fixkosten + Transport) dieses Bild?

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Entscheidungssituation

Entscheidungssituation

SushiFresh muss entscheiden, welcher der drei Kandidatenstandorte für Produktion und Distribution ausgebaut wird und welche Filiale von welchem Standort versorgt werden soll. Das Unternehmen möchte die Entscheidung so treffen, dass die jährlichen Gesamtkosten aus Fixkosten und Transport minimiert werden. Folgende Informationen sind bekannt:

Kandidatenstandorte und jährliche Fixkosten

ID	Standort	Längengrad	Breitengrad	Fixkosten/Jahr (1000 €)
S1	Wiesbaden-Erbenheim	8.29990	50.06320	36
S2	Mainz-Hechtsheim	8.28310	49.96980	42
S3	Raunheim	8.46500	50.00000	52
S4	Höchst	8.54218	50.11146	48
S5	Isenburg	8.70720	50.05430	40

Transportdistanzen in km

	C1	C2	C3	C4	C5	C6
S1	6.174	20.739	23.737	27.576	42.998	9.110
S2	4.603	25.745	29.584	44.289	36.928	39.002
S3	24.084	13.601	8.518	27.325	22.386	6.296
S4	30.588	33.354	44.696	16.751	34.263	37.121
S5	25.113	43.756	45.288	30.370	16.021	5.700

Filialen und tägliche Nachfrage

ID	Filiale	Längengrad	Breitengrad	Nachfrage $\mu$ (Boxen/Tag)
C1	Wiesbaden	8.2398	50.0782	120
C2	Mainz	8.2711	50.0000	150
C3	Frankfurt	8.6821	50.1109	280
C4	Rüsselsheim	8.4116	49.9904	90
C5	Darmstadt	8.6512	49.8728	110
C6	Offenbach	8.7761	50.0956	95

Warehouse Location Problem

Problembeschreibung

Problemstellung

Gegeben sei eine Menge an Kundenstandorten und eine Menge (potentieller) Lagerhausstandorte. Jeder Kundenstandort hat eine Warennachfrage (z.B. in Stück pro Monat/Jahr), die von den Lagerhäusern beliefert warden muss. Der Transport der Waren verursacht entfernungsabhängige Transportkosten. Die Eröffnung eines Lagerhauses verursacht Einrichtungskosten.

Es ist zu entscheiden, an welchen Standorten Lagerhäuser eingerichtet werden sollen und welche Kunden diese versorgen sollen.

Notation

Menge der Lagerhäuser $i \in I$
Menge der Kundenstandorte $j \in J$
Transportverbindungen $E \subseteq I \times J$
Eröffnungskosten an Lagerstandort $i$: $f_i$
Transportkosten (z.B. in €/Monat) Standort $i$ zu Kunde $j$: $c_{ij}$
Nachfrage von Kunde $j$: $a_j$

Warehouse Location Problem

Mathematisches Modell

Gemischt-ganzzahliges lineares Optimierungsmodell

Minimiere die Gesamtkosten aus Transport und Standorteröffnung

\[\min \rightarrow \sum_{i \in I} y_i \cdot f_i + \sum_{(i,j) \in E} x_{ij} \cdot c_{ij}\]

Nebenbedingungen \[ \begin{align} \sum_{(i,j) \in E} x_{ij} &= a_j & \forall j \in J &\quad\rightarrow \text{Nachfrage befriedigen} \\ x_{ij} &\leq y_i \cdot a_j & \forall (i,j) \in E &\quad\rightarrow \text{nur Transporte von eröffneten Standorten} \\ x_{ij} &\geq 0 & \forall (i,j) \in E &\quad\rightarrow \text{Transportmengen nicht negativ} \\ y_i &\in \{0,1\} & \forall i \in I &\quad\rightarrow \text{Standort wird eröffnet oder nicht} \end{align} \]

Warehouse Location Problem

Fallbeispiel

Standorte – Fixkosten $f_i$ (€/Jahr)

Standort i	f_i (€)
S1	36 000
S2	42 000
S3	52 000
S4	48 000
S5	40 000

Filialen – Nachfrage $a_j$ (Boxen/Jahr)

Filiale j	a_j
C1	120 000
C2	150 000
C3	280 000
C4	90 000
C5	110 000
C6	95 000

Transportkosten $c_{ij}$ (€/Box)

	C1	C2	C3	C4	C5	C6
S1	0.123	0.415	0.475	0.552	0.860	0.182
S2	0.092	0.515	0.592	0.886	0.739	0.780
S3	0.482	0.272	0.170	0.546	0.448	0.126
S4	0.612	0.667	0.894	0.335	0.685	0.742
S5	0.502	0.875	0.906	0.607	0.320	0.114

Warehouse Location Problem

Implementierung mit R/OMPR

library(ompr)
library(ompr.roi)
library(ROI.plugin.glpk)

# Problemdaten
n_I <- 5; n_J <- 6
f   <- c(36000, 42000, 52000, 48000, 40000)
a   <- c(120000, 150000, 280000, 90000, 110000, 95000)
c_ij <- matrix(
  c(
    0.12348,    0.41478,    0.47474,    0.55152,    0.85996,    0.18220,
    0.09206,    0.51490,    0.59168,    0.88578,    0.73856,    0.78004,
    0.48168,    0.27202,    0.17036,    0.54650,    0.44772,    0.12592,
    0.61176,    0.66708,    0.89392,    0.33502,    0.68526,    0.74242,
    0.50226,    0.87512,    0.90576,    0.60740,    0.32042,    0.11400),
  nrow = n_I, byrow = TRUE)

# MILP-Modell
model <- MIPModel() |>
  # Variablen
  add_variable(y[i], i = 1:n_I, type = "binary") |>
  add_variable(x[i,j], i = 1:n_I, j = 1:n_J,
               type = "continuous", lb = 0) |>
  # Zielfunktion
  set_objective(
    sum_expr(f[i] * y[i], i = 1:n_I) +
    sum_expr(c_ij[i,j] * x[i,j],
             i = 1:n_I, j = 1:n_J),
    sense = "min") |>
  # NB1: Nachfrage vollständig befriedigen
  add_constraint(
    sum_expr(x[i,j], i = 1:n_I) == a[j],
    j = 1:n_J) |>
  # NB2: Transport nur von eröffneten Lagern
  add_constraint(
    x[i,j] <= y[i] * a[j],
    i = 1:n_I, j = 1:n_J)

result <- solve_model(model,
           with_ROI(solver = "glpk", verbose = FALSE))

OMPR – Workflow

MIPModel() → leeres Modell
add_variable() → Entscheidungsvariablen
set_objective() → Zielfunktion
add_constraint() → Nebenbedingungen
solve_model() → Solver aufrufen
get_solution() → Lösung extrahieren

# Optimale Lösung extrahieren
y_sol <- get_solution(result, y[i])
x_sol <- get_solution(result, x[i,j])

# Geöffnete Lager
offene_lager <- y_sol$i[y_sol$value > 0.5]

# Optimaler Zielfunktionswert
obj_val <- objective_value(result)

Warehouse Location Problem

Fallbeispiel – Optimale Lösung

Standort $i$	Filiale $j$	Menge $x_{ij}$ (Boxen)	Transportkosten (€)
S1	C1	120 000	14 817.6
S3	C2	150 000	40 803.0
S3	C3	280 000	47 700.8
S3	C4	90 000	49 185.0
S3	C5	110 000	49 249.2
S3	C6	95 000	11 962.4

Kostenart	€/Jahr
Fixkosten	88 000
Transportkosten	213 718
Gesamtkosten Z*	301 718

Warehouse Location Problem

Heuristische Lösungsverfahren - Grundideen

Warum Heuristiken?

Das WLP ist NP-schwer: exakte Solver (MILP) finden zwar optimale Lösungen, aber die Rechenzeit wächst exponentiell mit $|I|$ und $|J|$. Für große Praxisinstanzen sind konstruktive Heuristiken oft der einzig praktikable Ansatz.

Grundidee

start mit einer zulässigen Lösung und versuche diese schrittweise zu verbessern
Jeder Schritt: greedy – wähle die Änderung mit der größten Kostenreduktion
Abbruch, wenn keine weitere Verbesserung möglich
Kunden werden stets dem günstigsten offenen Lager zugeordnet

Zwei klassische Ansätze

Methode	Ausgangspunkt	Richtung
Add-Heuristik	Keine Lager offen	Schrittweise hinzufügen
Drop-Heuristik	Alle Lager offen	Schrittweise schließen

Grundideen Add/Drop - graphisch

Warehouse Location Problem

Add-Heuristik

Idee: Starte ohne geöffnetes Lager. Füge in jedem Schritt dasjenige Lager $i^*$ hinzu, das die Gesamtkosten am stärksten reduziert.

Algorithmus

Initialisierung: $S \leftarrow \emptyset$

Wiederhole:

Berechne für jedes noch nicht geöffnete Lager $i \notin S$ den Kostenbeitrag: \[\Delta_i = Z(S) - Z(S \cup \{i\})\]
Wähle $i^* = \arg\max_{i \notin S} \Delta_i$
Falls $\Delta_{i^*} > 0$: öffne $i^*$, setze $S \leftarrow S \cup \{i^*\}$
Sonst: Abbruch

Zuordnungsregel: Jeder Kunde $j$ wird dem günstigsten offenen Lager zugeordnet: $\sigma(j) = \arg\min_{i \in S} c_{ij}$

Kostenberechnung

\[Z(S) = \underbrace{\sum_{i \in S} f_i}_{\text{Eröffnung}} + \underbrace{\sum_{j \in J} \min_{i \in S} c_{ij} \cdot a_j}_{\text{Transport}}\]

Eigenschaft:
- Greedy, nicht garantiert optimal
- Transportkosten sinken von Schritt zu Schritt
- neues Lager wird eröffnet, wenn Eröffnungskosten < Transportkosteneinsparungen

Abbruchbedingung

Die Heuristik stoppt, sobald kein weiteres Lager die Gesamtkosten senkt.

Warehouse Location Problem

Drop-Heuristik

Idee: Starte mit allen Lagern geöffnet. Schließe in jedem Schritt dasjenige Lager $i^*$, dessen Schließung die Gesamtkosten am stärksten reduziert.

Algorithmus

Initialisierung: $S \leftarrow I$

Wiederhole:

Berechne für jedes noch geöffnete Lager $i \in S$ den Kostenbeitrag: \[\Delta_i = Z(S) - Z(S \setminus \{i\})\]
Wähle $i^* = \arg\max_{i \in S} \Delta_i$
Falls $\Delta_{i^*} > 0$: schließe $i^*$, setze $S \leftarrow S \setminus \{i^*\}$
Sonst: Abbruch

Zuordnungsregel: $\sigma(j) = \arg\min_{i \in S} c_{ij}$

Vergleich mit Add-Heuristik

Merkmal	Add	Drop
Start	$S = \emptyset$	$S = I$
Richtung	aufbauend	abbauend
Startkosten	$\infty$ (kein Lager)	$\sum_i f_i + \ldots$
Laufzeit	$\mathcal{O}(\|I\|^2 \cdot \|J\|)$	$\mathcal{O}(\|I\|^2 \cdot \|J\|)$
Tendenz	wenige Lager	mehr Lager

Wichtig

Beide Heuristiken sind nicht garantiert optimal. Sie liefern zulässige Lösungen, die Lösungsqualität hängt stark von der Kostenstruktur der Instanz ab.

Warehouse Location Problem

Add-Heuristik – Fallbeispiel

Schritt	Aktion	Offene Standorte	Fixkosten (€)	Transport (€)	Gesamt (€)
1	+S3	{S3}	52 000	256 702	308 702
2	+S1	{S1, S3}	88 000	213 718	301 718

Filialzuordnung je Schritt:

Schritt	C1	C2	C3	C4	C5	C6
1	S3	S3	S3	S3	S3	S3
2	S1	S3	S3	S3	S3	S3

Ergebnis Add-Heuristik: Standort $\{S1, S3\}$ geöffnet, $Z_\text{Add} = 301 718$ €/Jahr

Warehouse Location Problem

Drop-Heuristik – Fallbeispiel

Schritt	Aktion	Offene Standorte	Fixkosten (€)	Transport (€)	Gesamt (€)
0	Start	{S1, S2, S3, S4, S5}	218 000	175 779.0	393 779.0
1	-S2	{S1, S3, S4, S5}	176 000	179 549.4	355 549.4
2	-S4	{S1, S3, S5}	128 000	198 582.6	326 582.6
3	-S5	{S1, S3}	88 000	213 718.0	301 718.0

Filialzuordnung je Schritt:

Schritt	C1	C2	C3	C4	C5	C6
0	S2	S3	S3	S4	S5	S5
1	S1	S3	S3	S4	S5	S5
2	S1	S3	S3	S3	S5	S5
3	S1	S3	S3	S3	S3	S3

Ergebnis Drop-Heuristik: Standort $\{S1, S3\}$ geöffnet, $Z_\text{Drop} = 301 718$ €/Jahr — identisch zum Ergebnis der Add-Heuristik!

Warehouse Location Problem

Lösungsvergleich

Kennzahl	Optimum (MILP)	Add-Heuristik	Drop-Heuristik
Geöffnete Standorte	S1, S3	S1, S3	S1, S3
Anzahl Standorte	2	2	2
Fixkosten (€)	36000	88000	88000
Transportkosten (€)	265718	213718	213718
Gesamtkosten Z (€)	301718	301718	301718
Gap zum Optimum (%)	–	0 %	0 %

In diesem Fallbeispiel finden Add-Heuristik und Drop-Heuristik unabhängig voneinander dieselbe, nachweislich optimale Lösung ($Z = 301 718$ €/Jahr, nur Standort S1 = Wiesbaden-Erbenheim). Das ist keine Selbstverständlichkeit, zeigt hier aber den eindeutigen Kostenvorteil dieses Standorts.

Kostenvergleich

Qualitative vs. quantitative Standortbewertung

Diskussion

Widerspruch zu Kapitel 4?

Die AHP-Analyse aus Kapitel 4 favorisierte knapp Mainz-Hechtsheim. Die quantitative WLP-Analyse dieses Kapitels favorisiert Wiesbaden-Erbenheim und Raunheim. Wie passt das zusammen?

Standort (Einzelbetrieb)	Fixkosten (€)	Transport (€/Jahr)	Gesamt (€/Jahr)
Wiesbaden-Erbenheim	36 000	14 818	50 818
Raunheim	52 000	198 900	250 900

Raunheim und Wiesbaden-Erbenheim sind transportkostengünstiger, die Einsparungen kompensieren die höheren Fixkosten.

Fazit

AHP (Kapitel 4): gut für erste Vorauswahl unter schwer quantifizierbaren, weichen Kriterien
WLP (Kapitel 5): liefert die belastbare Kostenentscheidung, sobald harte Zahlen vorliegen
Beide Verfahren ergänzen sich – keines ersetzt das andere

Strategische Gestaltung von Supply Chains - Transportplanung

Strategische Gestaltung von Supply Chains

Multikriterielle Standortplanung
Kontinuierliche Standortplanung
Diskrete Standortplanung
Transportplanung

Operative Distributionsplanung

Einordnung

Planungsaufgabe	Leitfrage	Horizont	Modell
Standortplanung	Wo produzieren/lagern wir?	strategisch (Jahre)	WLP (MILP)
Transportplanung	Welche Quelle beliefert welche Senke mit welcher Menge?	taktisch/operativ (Wochen, Tage)	Transportproblem (LP)
Kürzeste Wege	Welcher Weg im Straßennetz ist der kürzeste?	operativ (Stammdaten, täglich)	Kürzeste-Wege-Problem
Tourenplanung	In welcher Reihenfolge fährt ein Fahrzeug seine Kunden an?	operativ (täglich)	TSP / VRP

Roter Faden

Die Standortfrage für SushiFresh ist beantwortet: Von Raunheim und Wiesbaden-Erbenheim werden die sechs Filialen beliefert. Das WLP hat Standorte gewählt und Filialen zugeordnet. Was passiert, wenn die Standorte feststehen, aber Kapazitäten knapp werden?

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

das klassische Transportproblem als lineares Optimierungsmodell formulieren,
balancierte und unbalancierte Transportprobleme unterscheiden und durch Dummy-Knoten ausgleichen,
Startlösungen mit der Nordwestecken-Regel und der Vogel’schen Approximationsmethode (VAM) berechnen,
die Lösungsqualität heuristischer Verfahren im Vergleich zur LP-Optimallösung beurteilen.

Literatur zur Vertiefung

Transport- und Netzwerkmodelle: (Günther and Tempelmeier 2012, Kapitel 4).
Transportproblem und Lösungsverfahren (Tableau, VAM, MODI): (Domschke 2007).
Ursprung der Vogel’schen Approximationsmethode: (Reinfeld and Vogel 1958).

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Das Weihnachtsgeschäft

Ausgangslage

Im Normalbetrieb beliefern Raunheim und Wiesbaden-Erbenheim alle sechs Filialen. Die Planung für die Adventszeit steht an: Dann steigt die Nachfrage nach Sushi-Boxen um rund 40 %. Raunheim und Wiesbaden-Erbenheim können im Schichtbetrieb höchstens 850 Boxen/Tag produzieren (Raunheim: 450 Boxen/Tag, Wiesbaden-Erbenheim: 400 Boxen/Tag).

Idee der Geschäftsführung

Für vier Wochen wird daher in Neu-Isenburg eine temporäre Cateringküche angemietet, die eine Kapazität von 333 Boxen/Tag hat. Damit deckt die Gesamtkapazität die Adventsnachfrage genau.

Entscheidungsproblem

Die Standorte stehen fest, keine Standortentscheidung mehr. Offen ist nur: Welche Küche beliefert welche Filiale mit wie vielen Boxen, sodass die täglichen Transportkosten minimal sind?

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Daten

Küchen und Kapazitäten $s_i$ (Boxen/Tag)

ID	Küche	Kapazität s_i
S3	Raunheim	450
S1	Wiesbaden-Erbenheim	400
S5	Neu-Isenburg	333

Filialen und Nachfrage $a_j$ im Dezember (Boxen/Tag)

ID	Filiale	Normal μ_j	Dezember a_j
C1	Wiesbaden	120	168
C2	Mainz	150	210
C3	Frankfurt	280	392
C4	Rüsselsheim	90	126
C5	Darmstadt	110	154
C6	Offenbach	95	133

Transportkosten $c_{ij}$ (€/Box, aus Einheit Standortplanung II)

Küche	C1	C2	C3	C4	C5	C6
S3	0.482	0.272	0.170	0.546	0.448	0.126
S1	0.123	0.415	0.475	0.552	0.860	0.182
S5	0.502	0.875	0.906	0.607	0.320	0.114

Bilanz

Gesamtkapazität $\sum_i s_i =$ 1183 Boxen, Gesamtnachfrage $\sum_j a_j =$ 1183 Boxen → Angebot und Nachfrage sind ausgeglichen.

Transportproblem

Problembeschreibung

Problemstellung

Gegeben sind $m$ Quellen (z. B. Werke, Küchen, Lager) mit Angebotsmengen und $n$ Senken (z. B. Kunden, Filialen) mit Nachfragemengen. Für jede Verbindung fallen Transportkosten je Einheit an. Gesucht ist ein kostenminimaler Transportplan, der die Nachfrage deckt und die Angebotsmengen nicht überschreitet.

Notation

Quellen $i \in I$ mit Angebot $s_i$
Senken $j \in J$ mit Nachfrage $a_j$
Transportkosten je Einheit von $i$ nach $j$: $c_{ij}$
Entscheidungsvariable: Transportmenge $x_{ij} \geq 0$

Unterschied zum WLP (Einheit Standortplanung II)

keine Standortentscheidung $y_i$ – alle Quellen sind „geöffnet“
dafür Kapazitäten $s_i$ der Quellen
keine Fixkosten, nur variable Transportkosten

Transportproblem

Mathematisches Modell

Lineares Optimierungsmodell (Hitchcock 1941)

Minimiere die gesamten Transportkosten

\[\min \rightarrow \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} c_{ij} \cdot x_{ij}\]

Nebenbedingungen \[ \begin{align} \sum_{j \in J} x_{ij} &\leq s_i & \forall i \in I &\quad\rightarrow \text{Kapazität nicht überschreiten} \\ \sum_{i \in I} x_{ij} &= a_j & \forall j \in J &\quad\rightarrow \text{Nachfrage decken} \\ x_{ij} &\geq 0 & \forall i, j &\quad\rightarrow \text{keine negativen Mengen} \end{align} \]

Eigenschaften

Balanciert, wenn $\sum_i s_i = \sum_j a_j$ → alle Kapazitätsrestriktionen gelten mit „$=$“
reines LP (keine Binärvariablen) → effizient exakt lösbar
ganzzahlige $s_i, a_j$ → ganzzahlige Optimallösung (Nebenbedingungsmatrix total unimodular)
eine Basislösung hat höchstens $m + n - 1$ positive Transportmengen

Für SushiFresh: $m + n - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$ genutzte Verbindungen von 18 möglichen.

Transportproblem

Lösungsverfahren im Überblick

Eröffnungsverfahren

Konstruieren eine zulässige Startlösung mit höchstens $m+n-1$ Transporten:

Nordwestecken-Regel – ignoriert die Kosten
Matrixminimum-Methode – beliefert stets die insgesamt günstigste freie Zelle
Vogel’sche Approximationsmethode (VAM) – berücksichtigt Opportunitätskosten

Verbesserungs- und exakte Verfahren

Stepping-Stone- bzw. MODI-Methode: verbessern eine Startlösung schrittweise bis zum Optimum (Tableau-Varianten des Simplex-Verfahrens)
LP-Solver (z. B. glpk über ompr): lösen das Modell direkt exakt

Warum Eröffnungsverfahren heute noch?

Sie sind per Hand nachvollziehbar, liefern in Sekundenbruchteilen gute Lösungen und dienen als Startlösung für Verbesserungsverfahren. Die Logik von VAM – „Wo wäre ein Fehler am teuersten?“ – ist zudem ein nützliches Denkmuster für Disponenten.

Nordwestecken-Regel

Kosten werden ignoriert

Algorithmus

Starte in der linken oberen Zelle (Zeile 1, Spalte 1).
Transportiere $x_{ij} = \min(\text{Restangebot}_i, \text{Restnachfrage}_j)$.
Ist das Angebot von $i$ erschöpft → eine Zeile nach unten, sonst eine Spalte nach rechts.
Wiederhole, bis alle Nachfrage gedeckt ist.

Schwäche

Die Reihenfolge der Zeilen/Spalten bestimmt die Lösung, nicht die Kosten.

Nordwestecken-Lösung für SushiFresh (Boxen/Tag)

Küche	C1	C2	C3	C4	C5	C6
S3	168	210	72	–	–	–
S1	–	–	320	80	–	–
S5	–	–	–	46	154	133

Transportkosten: 438,80 €/Tag

Beispiel: Die Filiale Wiesbaden (C1) wird komplett aus Raunheim beliefert (0,482 €/Box), obwohl die Küche Wiesbaden-Erbenheim mit 0,123 €/Box fast viermal günstiger wäre.

Vogel’sche Approximationsmethode

Idee: Opportunitätskosten

Idee: Beliefere zuerst dort, wo eine falsche Entscheidung am teuersten wäre. Maß dafür ist die Strafkosten-Differenz (penalty) $\Delta$ einer Zeile oder Spalte: die Differenz zwischen der zweitgünstigsten und der günstigsten noch verfügbaren Zelle.

Beispiel: Spalte C1 (Filiale Wiesbaden)

Küche	c_i,C1 (€/Box)
S1	0.123
S3	0.482
S5	0.502

$\Delta_{C1} = 0.482 - 0.123 = 0.358$ €/Box

Interpretation

Kann Wiesbaden nicht aus der günstigsten Küche (S1) beliefert werden, kostet jede Box mindestens 0,358 € mehr.

Bei 168 Boxen/Tag sind das bis zu 60,18 € Opportunitätskosten pro Tag.

→ Zeilen/Spalten mit großem $\Delta$ werden zuerst bedient.

Vogel’sche Approximationsmethode

Algorithmus

Initialisierung: Alle Zeilen und Spalten sind aktiv; Restangebot $s_i$, Restnachfrage $a_j$.

Wiederhole, solange aktive Zeilen und Spalten existieren:

Berechne für jede aktive Zeile $i$ und jede aktive Spalte $j$ die Strafkosten-Differenz: \[\Delta = c_{(2)} - c_{(1)}\] (zweitkleinste minus kleinste Kosten unter den aktiven Zellen)
Wähle die Zeile oder Spalte mit dem größten $\Delta$.
Wähle darin die günstigste aktive Zelle $(i^*, j^*)$.
Transportiere $x_{i^*j^*} = \min(s_{i^*}, a_{j^*})$ und aktualisiere Restangebot und Restnachfrage.
Streiche die erschöpfte Zeile bzw. Spalte.

Hinweise

Bei Gleichstand von $\Delta$: beliebige Wahl (z. B. die Zeile/Spalte mit der günstigeren Zelle)
Bleibt nur eine Zelle in einer Zeile/Spalte, ist $\Delta = 0$ – die Zuordnung ist dann ohnehin erzwungen
Nach höchstens $m + n - 1$ Iterationen ist eine zulässige Lösung gefunden

Aber

VAM ist eine Heuristik: gute, aber nicht garantiert optimale Lösungen.

Vogel’sche Approximationsmethode

Fallbeispiel – Iteration 1

	C1	C2	C3	C4	C5	C6	s_i (Rest)	Δ Zeile
S3	0.482	0.272	0.170	0.546	0.448	0.126	450	0.044
S1	0.123 → 168	0.415	0.475	0.552	0.860	0.182	400	0.059
S5	0.502	0.875	0.906	0.607	0.320	0.114	333	0.206
a_j (Rest)	168	210	392	126	154	133
Δ Spalte	0.358	0.143	0.304	0.005	0.127	0.012

Zeilen: z. B. Raunheim (S3): günstigste Zellen C6 (0.126) und C3 (0.170) → $\Delta_{S3} = 0.044$

Spalten: z. B. Wiesbaden (C1): $\Delta_{C1} = 0.358$ → größtes $\Delta$ im gesamten Tableau

Entscheidung

Günstigste Zelle in Spalte C1: S1 → C1. Menge $\min(400, 168) = 168$ Boxen. Nachfrage von C1 ist gedeckt → Spalte C1 streichen.

Vogel’sche Approximationsmethode

Fallbeispiel – Iteration 2

	C1	C2	C3	C4	C5	C6	s_i (Rest)	Δ Zeile
S3	0.482	0.272	0.170 → 392	0.546	0.448	0.126	450	0.044
S1	0.123 [168]	0.415	0.475	0.552	0.860	0.182	232	0.233
S5	0.502	0.875	0.906	0.607	0.320	0.114	333	0.206
a_j (Rest)	0	210	392	126	154	133
Δ Spalte	–	0.143	0.304	0.005	0.127	0.012

Durch das Streichen von C1 ändert sich die Strafkosten-Differenz von S1: Die günstigste Zelle (C1) fällt weg, neu ist $\Delta_{S1} = 0.233$.

Die Penalties müssen daher in jeder Iteration neu berechnet werden.

Entscheidung

Größtes $\Delta$: Spalte C3 (Frankfurt, $\Delta = 0.304$). Günstigste Zelle: S3 → C3, Menge $\min(450, 392) = 392$. Spalte C3 streichen.

Vogel’sche Approximationsmethode

Fallbeispiel – Iteration 3

	C1	C2	C3	C4	C5	C6	s_i (Rest)	Δ Zeile
S3	0.482	0.272	0.170 [392]	0.546	0.448	0.126	58	0.146
S1	0.123 [168]	0.415	0.475	0.552	0.860	0.182 → 133	232	0.233
S5	0.502	0.875	0.906	0.607	0.320	0.114	333	0.206
a_j (Rest)	0	210	0	126	154	133
Δ Spalte	–	0.143	–	0.005	0.127	0.012

Entscheidung

Erstmals ist eine Zeile ausschlaggebend: Wiesbaden-Erbenheim (S1) hat mit $\Delta = 0.233$ das größte Penalty. Die günstigste verbleibende Zelle ist S1 → C6 (Offenbach). Menge $\min(232, 133) = 133$ → Nachfrage von Offenbach gedeckt, Spalte C6 streichen. S1 bleibt mit Restangebot 99 Boxen aktiv.

Vogel’sche Approximationsmethode

Fallbeispiel – alle Iterationen

It.	max. Δ in	Δ	Zelle	Menge	Kosten (€)	gestrichen
1	Spalte C1	0.358	S1 → C1	168	20,74	C1
2	Spalte C3	0.304	S3 → C3	392	66,78	C3
3	Zeile S1	0.233	S1 → C6	133	24,23	C6
4	Zeile S5	0.287	S5 → C5	154	49,34	C5
5	Zeile S3	0.274	S3 → C2	58	15,78	S3
6	Spalte C2	0.460	S1 → C2	99	41,06	S1
7	Zeile S5	0.268	S5 → C4	126	76,53	C4
8	Zeile S5	0.000	S5 → C2	53	46,38	S5, C2

Beobachtungen

Genau $m + n - 1 = 8$ Iterationen bzw. Transporte
Die teuren Fehlentscheidungen (Wiesbaden, Frankfurt) werden zuerst vermieden
In der letzten Iteration ist $\Delta = 0$: Die Zuordnung ist durch die Restmengen erzwungen

Vogel’sche Approximationsmethode

Fallbeispiel – Ergebnis

VAM-Transportplan (Boxen/Tag)

Küche	C1	C2	C3	C4	C5	C6
S3	–	58	392	–	–	–
S1	168	99	–	–	–	133
S5	–	53	–	126	154	–

Transportkosten: 340,86 €/Tag gegenüber 438,80 €/Tag mit der Nordwestecken-Regel.

Zulässigkeit: Zeilensummen 450 / 400 / 333 = Kapazitäten, Spaltensummen = Nachfrage.

Transportproblem

Implementierung mit R

# Heuristik (scm_functions.R)
vam <- vogels_approximation(tp_cost,
                            supply = tp_supply,
                            demand = tp_demand)

# Exakte Lösung als LP mit ompr
library(ompr); library(ompr.roi)
library(ROI.plugin.glpk)
m <- nrow(tp_cost); n <- ncol(tp_cost)

tp_model <- MIPModel() |>
  add_variable(x[i, j], i = 1:m, j = 1:n,
               type = "continuous", lb = 0) |>
  set_objective(
    sum_expr(tp_cost[i, j] * x[i, j],
             i = 1:m, j = 1:n), "min") |>
  # Kapazitäten
  add_constraint(
    sum_expr(x[i, j], j = 1:n) <= tp_supply[i],
    i = 1:m) |>
  # Nachfrage
  add_constraint(
    sum_expr(x[i, j], i = 1:m) == tp_demand[j],
    j = 1:n)

tp_opt <- solve_model(tp_model, with_ROI(solver = "glpk"))

Verfahren	Kosten (€/Tag)	Abw. vom Optimum
Nordwestecke	438,80	44,9 %
VAM	340,86	12,5 %
LP-Optimum	302,92	0,0 %

Optimaler Transportplan (Boxen/Tag)

Küche	C1	C2	C3	C4	C5	C6
S3	–	58	392	–	–	–
S1	168	152	–	80	–	–
S5	–	–	–	46	154	133

Transportproblem

Vergleich der Lösungen

Ergebnis

VAM liegt 12,5 % über dem Optimum, die Nordwestecke 45 %.
Der Unterschied VAM ↔︎ Optimum liegt allein in der Aufteilung von Mainz (C2), Rüsselsheim (C4) und Offenbach (C6) zwischen Wiesbaden-Erbenheim und Neu-Isenburg.

Hochgerechnet

Über vier Adventswochen (24 Liefertage) spart der optimale Plan gegenüber der Nordwestecke rund 3.261 €. Gegenüber VAM sind es nur 911 €.

Unbalancierte Transportprobleme

Dummy-Quellen und Dummy-Senken

Überkapazität $\sum_i s_i > \sum_j a_j$

Einführung einer Dummy-Senke mit Nachfrage $\sum_i s_i - \sum_j a_j$ und Kosten $c_{i,\text{Dummy}} = 0$
Lieferungen an die Dummy-Senke = ungenutzte Kapazität

Unterkapazität $\sum_i s_i < \sum_j a_j$

Einführung einer Dummy-Quelle mit Angebot $\sum_j a_j - \sum_i s_i$
Kosten = Fehlmengenkosten (z. B. entgangener Deckungsbeitrag, vgl. Newsvendor)
Lieferungen der Dummy-Quelle = nicht belieferte Nachfrage

Variante: Neu-Isenburg bietet 350 statt 333 Boxen/Tag → 17 Boxen Überkapazität

Küche	C1	C2	C3	C4	C5	C6	Dummy
S3	–	58	392	–	–	–	–
S1	168	82	–	–	–	133	17
S5	–	70	–	126	154	–	–

vogels_approximation() ergänzt die Dummy-Spalte automatisch. Kosten: 348,68 €/Tag.

Dummy-Kosten von 0 verändern die Strafkosten-Differenzen. VAM kann daher bei unbalancierten Problemen deutlich schlechter abschneiden. Das LP liefert immer das Optimum.

Transportproblem

Grenzen des Modells und Ausblick

Annahme 1: Kosten $c_{ij}$ sind gegeben

Bisher wurden die Transportkosten je Box vorgegeben. In der Praxis müssen sie aus Entfernungen im Straßennetz abgeleitet werden.

→ Kürzeste-Wege-Probleme (Einheit Kürzeste Wege)

Annahme 2: Kosten sind linear in der Menge

Das Modell unterstellt Direktverkehre (Pendelfahrten) mit Kosten proportional zur Menge. Tatsächlich fährt ein Kühlfahrzeug mehrere Filialen nacheinander an, und die Kosten hängen von der Fahrstrecke ab.

→ Tourenplanung / TSP (Einheit Tourenplanung)

Weitere Erweiterungen

Umschlagpunkte (Transshipment), mehrere Produkte, Kapazitäten auf Verbindungen, Mindestmengen je Fahrt (dann MILP).

Kernaussagen

Das Wichtigste in Kürze

Das Transportproblem verteilt Angebotsmengen kostenminimal auf Nachfragemengen. Es ist ein LP mit ganzzahligen Optimallösungen.
Unbalancierte Probleme werden über Dummy-Quellen bzw. -Senken ausgeglichen.
Die Nordwestecken-Regel ist einfach, ignoriert aber die Kosten.
Die Vogel’sche Approximationsmethode priorisiert Zeilen/Spalten mit hohen Opportunitätskosten und liefert meist Lösungen nahe am Optimum (SushiFresh: +12,5 %).
Mit ompr lässt sich das Transportproblem in wenigen Zeilen exakt lösen.

Übung

Übungsaufgaben zu dieser Einheit

Aufgaben zur Klausurvorbereitung (Teil 1) und eine vertiefende Fallstudie (Teil 2) finden Sie in Fallstudie 3: Diskrete Standortplanung und Transportplanung.

Unsicherheits- und Risikomanagement in Supply Chains

Unsicherheit in Supply Chains

Pooling
Newsvendor-Modell
Bullwhip-Effekt

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

Quellen und Auswirkungen von Unsicherheit in Supply Chains erläutern,
Nachfrageunsicherheit, implizierte Unsicherheit und Reaktionsfähigkeit voneinander abgrenzen,
den Effekt von Risikopooling auf Nachfragevarianz und Sicherheitsbestände analysieren,
zentrale und dezentrale Bestandsstrukturen unter Unsicherheit vergleichen und beurteilen.

Literatur zur Vertiefung

Pooling, Nachfragevariabilität und Bestandsentscheidungen: (Cachon and Terwiesch 2024, Kapitel 10–13).
Sicherheitsbestände, Servicegrade und Inventory-Management: (Silver et al. 2017, Kapitel 6–8).

Die Natur der Unsicherheit

Implizierte Unsicherheit in Supply Chains (Chopra and Meindl 2025)

Implizierte Unsicherheit (implied uncertainty) bezeichnet die Unsicherheit, mit der eine Supply Chain umgehen muss — bestimmt durch die Kombination aus Nachfrageunsicherheit und den Serviceanforderungen des Marktes (Chopra and Meindl 2025, Kap. 2).

Zwei Quellen implizierter Unsicherheit

Dimension	Niedrig	Hoch
Nachfrageunsicherheit	Salz, Strom	Fashion, Elektronik
Liefervariabilität	Beton, Kohle	Halbleiter, Fischfang

$\rightarrow$ Hohe implizierte Unsicherheit erfordert reaktionsfähige (responsive) Supply Chains mit Pufferkapazität.

Das Grunddilemma

Nachfrage ist variabel und schwer vorhersagbar
Kapazitäten (Werke, Lager, Personal) werden im Voraus festgelegt
$\rightarrow$ Mismatch zwischen Angebot und Nachfrage ist strukturell unvermeidlich

Die Natur der Unsicherheit

Mismatch: Schwankende Nachfrage vs. fixe Kapazität

Kapazitäten (Maschinen, Personal, Lagerraum) werden ex ante bestimmt. Die Nachfrage realisiert sich ex post. Das Ergebnis: systematischer Mismatch in beide Richtungen.

Konsequenzen des Mismatches

Szenario	Phänomen	Folge
$d > C$	Überlastung	Lost Sales, Umsatzverlust
$d < C$	Unterauslastung	Leerkosten
$d \approx C$	Gleichgewicht	bei perfekter Prognose

Praxisbeispiele

Automobilindustrie: Werke produzieren nur bestimmte Modelle für mehrere Jahre $\rightarrow$ Auslastung hängt von Nachfrage ab
Einzelhandel: Saisonware (Weihnachtsartikel) wird zu früh bestellt, Reste werden verramscht
Krankenhaus: OP-Kapazitäten sind täglich fix, Notfallaufkommen ist hochvariabel

Umgang mit Unsicherheit

Kapazitätspooling

Ausgangssituation (Struktur nach Cachon & Terwiesch, Kap. 17)

In der Gründungsphase betrieb SushiFresh zunächst nur 2 Pilotküchen für 2 Pilotstandorte (die heutigen Filialen Wiesbaden und Mainz). Jede Küche ist genau ihrem eigenen Standort zugeordnet – keine Flexibilität. Die Kapazität je Küche beträgt 90 Boxen/Tag. Die Nachfrage ist unsicher und wird beobachtet, nachdem die Kapazitäten festgelegt wurden.

Konsequenzen der Inflexibilität

Übersteigt die Nachfrage die Kapazität $\rightarrow$ Fehlmenge (Lost Sales)
Liegt die Nachfrage unter der Kapazität $\rightarrow$ Leerkapazität (Idle Capacity)
Beide Effekte reduzieren die Systemperformance

Kapazitätspooling

Originalkonfiguration – Jede Küche beliefert nur ihre zugewiesene Filiale

Monatliche Nachfrage und Produktion, Pilotphase ($C^{Wi} = C^{Ma} = 90$)

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi	x_t^Ma
1	78	102.0	78.00	90.00
2	79	92.0	79.00	90.00
3	92	93.0	90.00	90.00
4	76	87.0	76.00	87.00
5	95	80.0	90.00	80.00
6	104	97.0	90.00	90.00
7	87	90.0	87.00	90.00
8	92	76.0	90.00	76.00
9	91	89.0	90.00	89.00
10	85	86.0	85.00	86.00
11	96	89.0	90.00	89.00
12	93	93.0	90.00	90.00
⌀	89	89.5	86.25	87.25

System Evaluation

Erwartete Nachfrage: $E(d^{Wi})=$ 89; $E(d^{Ma})=$ 89.5
Erwartete Produktion: $E(x^{Wi})=$ 86.2; $E(x^{Ma})=$ 87.2
Auslastung Standorte: $\frac{E(x^{Wi})}{C^{Wi}}=$ 95.8 %; $\frac{E(x^{Ma})}{C^2}=$ 96.9 %
Erwarteter Lieferservicegrad: $\frac{E(x^{Wi})}{E(d^{Wi})}=$ 97.2 %; $\frac{E(x^{Ma})}{E(d^{Ma})}=$ 97.7 %

Problem

Auslastung und Lieferservicegrad sind hoch, dennoch gibt es lost sales und Unterauslastung $\rightarrow$ Kann gegenseitiges Aushelfen (Kapazitätspooling) die Kennzahlen verbessern?

Kapazitätspooling

Einseitiges Pooling – Küche Wiesbaden kann beide Standorte beliefern

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^2B
1	78	102	78	12	90
2	79	92	79	2	90
3	92	93	90	0	90
4	76	87	76	0	87
5	95	80	90	0	80
6	104	97	90	0	90
7	87	90	87	0	90
8	92	76	90	0	76
9	91	89	90	0	89
10	85	86	85	0	86
11	96	89	90	0	89
12	93	93	90	0	90

Pooling-Regel (wenn $d_t^{Ma} > C^{Ma}$ und $d_t^{Wi} < C^{Wi}$):

\[x_t^1 = d_t^{Wi} + \min(C^{Wi} - d_t^{Wi};\; d_t^{Ma} - C^{Ma})\] \[x_t^{Ma,Ma} = C^{Ma}\]

System Evaluation (Pooling)

Produktion Werk 1: $E(x^{Wi})=$ 87.4
Versorgung Markt B: $E(x^{Wi,Ma}+x^{Ma,Ma})=$ 88.4
Auslastung Werk 1: $\frac{E(x^{Wi})}{C^{Wi}}=$ 97.1 %
Lieferservicegrad Markt B: $\frac{E(x^{Wi,Ma}+x^{Ma,Ma})}{E(d^{Ma})}=$ 98.8 %

Kapazitätspooling

Zweiseitiges Pooling – Beide Küchen können beide Standorte beliefern

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^Ma,Ma	x_t^Ma,Wi
1	78	102	78	12	90	0
2	79	92	79	2	90	0
3	92	93	90	0	90	0
4	76	87	76	0	87	0
5	95	80	90	0	80	5
6	104	97	90	0	90	0
7	87	90	87	0	90	0
8	92	76	90	0	76	2
9	91	89	90	0	89	1
10	85	86	85	0	86	0
11	96	89	90	0	89	1
12	93	93	90	0	90	0

System Evaluation

Produktion Wiesbaden: $E(x^{Wi})=$ 87.4
Produktion Mainz: $E(x^{Ma})=$ 88
Versorgung Wiesbaden: $E(x^{Wi, Wi}+x^{Ma, Wi})=$ 87
Versorgung Mainz: $E(x^{Wi,Ma}+x^{Ma, Ma})=$ 88.4
Auslastung Wiesbaden: $\frac{E(x^{Wi})}{C^{Wi}}=$ 97.1 %
Auslastung Werk 2: $\frac{E(x^{Ma})}{C^{Ma}}=$ 97.8 %
Lieferservicegrad Wiesbaden: $\frac{E(x^{Wi,Wi}+x^{Ma,Wi})}{E(d^{Wi})}=$ 97.8 %
Lieferservicegrad Mainz: $\frac{E(x^{Ma,Ma}+x^{Wi,Ma})}{E(d^{Ma})}=$ 98.8 %

Versorgungssystem reagiert als wäre die Trennung zwischen Märkten/Produkten und Werken aufgehoben $\rightarrow$ Gesamtkapazität und Gesamtnachfrage entscheidend

Kapazitätspooling

Kennzahlenvergleich

Kennzahl	Dezentral	Pooling einseitig	Pooling zweiseitig
Ø Produktion Wiesbaden (Einh.)	86.2	87.4	87.4
Ø Produktion Mainz (Einh.)	87.2	87.2	88.0
Ø Verkäufe Wiesbaden (Einh.)	86.2	86.2	87.0
Ø Verkäufe Mainz (Einh.)	87.2	88.4	88.4
Lost Sales Wiesbaden (Einh.)	33.0	33.0	24.0
Lost Sales Mainz (Einh.)	27.0	13.0	13.0
Auslastung Wiesbaden (%)	95.8	95.8	96.7
Auslastung Mainz (%)	96.9	98.2	98.2
Verkaufsquote Wiesbaden (%)	96.9	96.9	97.8
Verkaufsquote Mainz (%)	97.5	98.8	98.8

Nutzen des Kapazitätspooling

Kapazitätspooling verbessert alle Servicekennzahlen gleichzeitig: mehr Verkäufe, höhere Auslastung, weniger Leerkapazität – ohne zusätzliche Produktionskapazität.

Kosten des Kapazitätspooling

Kapazitätspooling benötigt jedoch zusätzliche logistische Kapazitäten und vor allem technologische Flexibilität

Kapazitätspooling

Chaining

Chaining

Kapazitätspooling ermöglicht die gemeinsame Nutzung von Kapazitäten für verschiedene Märkte. Es erfordert jedoch technologische und logistische Flexibilität. Je mehr Märkte und Produkte zu bedienen sind, desto komplexer und kostspieliger ist Kapazitätspooling. Die Frage ist also, wie Kapazitätspooling bei mehreren Produkten und Märkten organisiert werden kann?

vollständiges Chaining

Verbindungen: $n \cdot n = 16$

Technologien je Werk: $n=4$

Märkte je Werk: $n=4$

Kurzes Chaining

Verbindungen: $2 \cdot n = 8$

Technologien je Werk: $n=2$

Märkte je Werk: $n=2$

Langes Chaining

Verbindungen: $2 \cdot n = 8$

Technologien je Werk: $n=2$

Märkte je Werk: $n=4$

Umgang mit Unsicherheit

Pooling über die Zeit - Sicherheitsbestände

Definition Sicherheitsbestand (Wiederholung)

Sicherheitsbestände gleichen Nachfrageschwankungen über die Zeit aus. Sei $S$ der Anfangslagerbestand zu Begin der Risikoperiode und $\mu$ der erwartete Bedarf in der Risikoperiode, dann gilt für den Sicherheitsbestand $sb$: $sb = S - \mu$

Beispiel: Das Zentralwerk Wiesbaden-Erbenheim bestellt frische Lachsfilet-Kisten periodisch beim Fischgroßhändler.

Festlegung von Sicherheitsbeständen

nach Kosten: Sicherheitsbestände verursachen Lagerhaltungskosten und vermeiden Fehlmengenkosten $\rightarrow$ Kostenabwägung
Lieferbereitschaft: Absicherung des Risikos, im Risikozeitraum nicht lieferfähig zu sein ($\alpha$-Servicegrad)
Versorgungsgrad: Anteil der Nachfrage, die langfristig innerhalb des Risikozeitraums erfüllt werden soll ($\beta$-Servicegrad)

Sicherheitsbestände

$\alpha$-Servicegrad und empirische Verteilungsfunktion

Gehen Sie davon aus, dass ein Fehlmengenrisiko von 5% akzeptable ist und der $\alpha$-Servicegrad daher 95% beträgt. Frage: Welcher (minimale) Anfangslagerbestand sichert diesen Servicegrad? Antwort: Formal soll gelten $P(d \leq S) \geq \alpha$. Für eine empirische Nachfrageverteilung $F(d)$ gilt also $\hat{F}(S) \geq \alpha$ oder $S \geq \hat{F}^{-1}(\alpha)$. Wir suchen also ein (empirisches) Quantil.

μ = 89 | n = 12
Rang	d_t	Anzahl	F̂(d)
1	76	1	8.3 %
2	78	1	16.7 %
3	79	1	25 %
4	85	1	33.3 %
5	87	1	41.7 %
6	91	1	50 %
7	92	2	66.7 %
8	93	1	75 %
9	95	1	83.3 %
10	96	1	91.7 %
11	104	1	100 %

Sicherheitsbestände $sb=S-\mu$: $sb_{75\%}=4$, $sb_{90\%}=7$, $sb_{95\%}=15$

Lagerbestandspooling

Sicherheitsbestände bei dezentraler und zentraler Lagerhaltung

Dezentrales Netzwerk

Zentrales Netzwerk (Pooling)

Einsparung an Sicherheitsbestand: $sb_{dezentral}=sb_{A}+sb_{B}=27.5$ vs. $sb_{0}=22.5$ $\rightarrow$ 5 Einheiten oder 18 %

Lagerbestandspooling

Sicherheitsbestände bei bekannter Nachfrageverteilung

Nachfrageverteilung

Oft wird davon ausgegangen, dass die Nachfrage nach Gütern in einer bestimmten Zeitspanne eine Zufallsvariable ist, deren Verteilungsparameter (wie Mittelwert und Varianz) bekannt sind oder geschätzt werden können. Reale Daten weichen davon oft ab — simuliert am Beispiel Frankfurt/Offenbach mit gelegentlichen, gemeinsamen Feiertags-Spitzen.

Datenbasis: Simulierte tägliche Nachfrage über 250 Tage (set.seed(616), Details siehe R-Code)

ECDF (durchgezogen) = empirische Verteilung
Normalverteilung (gepunktet) = parametrisches Modell

Filiale	μ̂	σ̂	KS p-Wert	emp. SB (α=95%)	param. SB
Frankfurt	294	65	0.000	366	400
Offenbach	95	23	0.001	120	132

Die gemeinsamen Feiertags-Spitzen erzeugen in beiden Filialen eine rechtsschiefe, deutlich von der Normalverteilung abweichende Verteilung (KS-Test: p < 0,01 für beide) — der empirische Sicherheitsbestand fällt entsprechend niedriger aus als der parametrische.

Lagerbestandspooling

Normalverteilte Nachfrage – Sicherheitsbestand für zwei Standorte

Seien $D_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ und $D_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ die normalverteilten Nachfragen an zwei Standorten mit Korrelation $\rho = \text{Cor}(D_1, D_2)$.

Der Sicherheitsbestand am Standort $i$ bei $\alpha$-Servicegrad beträgt: $sb_i = z_\alpha \cdot \sigma_i$, sodass in Summe: $sb_{dez} = z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)$

Zentrales Lager: Verteilung der Gesamtnachfrage

Die aggregierte Nachfrage $D_0 = D_1 + D_2$ ist ebenfalls normalverteilt:

\[D_0 \sim \mathcal{N}\!\left(\mu_1 + \mu_2,\; \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2\right)\]

Damit gilt für den zentralen Sicherheitsbestand:

\[sb_{zen} = z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2}\]

Vergleich dezentral vs. zentral

Konfiguration	Sicherheitsbestand
Dezentral (2 Lager)	$z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)$
Zentral ($\rho = -1$)	$z_\alpha \cdot \\|\sigma_1 - \sigma_2\\|$
Zentral ($\rho = 0$)	$z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$
Zentral ($\rho = +1$)	$z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)$

$\rightarrow$ $\|\sigma_1 - \sigma_2\| \leq \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \leq \sigma_1 + \sigma_2$ $\rightarrow$ Pooling lohnt sich, solange $\rho < 1$

Je kleiner die Korrelation $\rho$, desto größer das Einsparungspotenzial durch zentrales Pooling. (Risikoausgleichseffekt)

Kernergebnis

Sicherheitsbestand für alle sechs SushiFresh-Filialen ($\alpha = 95\%$)

Mit qnorm() verifiziert

$z_{0{,}95} =$ 1.645
Dezentral: $sb_{dez}=z_\alpha\sum\sigma_i=$ 289.5 Boxen
Zentral (gepoolt, unabhängig): $sb_{zen}=z_\alpha\sqrt{\sum\sigma_i^2}=$ 127.5 Boxen
Einsparung durch Konsolidierung: 56 %

Gegenprobe pooling_safety_stock(): für 6 identische Filialen mit $\bar\sigma=$ 29.3 ergäbe sich eine Einsparung von 59 % — mehr als die tatsächlichen 56 %. Der dominante, volatile Standort Frankfurt ($\sigma=55$) schmälert den relativen Pooling-Vorteil gegenüber dem idealisierten Fall gleich großer Standorte.

56,0 % weniger Sicherheitsbestand durch die Zentralisierung auf Wiesbaden-Erbenheim — bei identischem Servicegrad.

Lagerbestandspooling

Empirische Illustration

negative Korrelation $\rho = -0.8$

keine Korrelation $\rho = 0$

positive Korrelation $\rho = +0.8$

Bei negativer Korrelation dämpfen sich die Schwankungen von $D_0$ gegenseitig — die Gesamtnachfrage ist stabiler als die Einzelnachfragen. Bei positiver Korrelation verstärken sie sich.

Lagerbestandspooling

Sicherheitsbestand in Abhängigkeit der Korrelation $\rho$

Drei Szenarien (Wiesbaden $\sigma_1=25$, Mainz $\sigma_2=30$, $\alpha = 95\%$)

$\rho$	$sb_{zen}$	Einsparung
$-0.8$	29.7	67.2 %
$\;\;\;0$	64.2	29 %
$+0.8$	85.9	5.1 %
$(+1)$	90.5	0 %

$sb_{dez} = z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2) =$ 90.5

Zentralitätsgewinn wenn $\sigma_1 \neq \sigma_2$

\[1-\frac{sb_{zen}}{sb_{dez}} = 1-\frac{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2}}{\sigma_1 + \sigma_2}\]

Zentralitätsgewinn wenn $\sigma_1 = \sigma_2$

\[1-\frac{sb_{zen}}{sb_{dez}} = 1-\sqrt{\frac{1+\rho}{2}}\]

Lagerbestandspooling

Simulierte Tagesnachfrage: Frankfurt & Offenbach

Kennzahl	Frankfurt	Offenbach	Gesamt / Pool
μ̂	294.1	94.9	389
σ̂	64.7	22.8	79.6
SB dezentral (emp.)	71.5	25.1	96.6
SB zentral (emp.)	—	—	80.5
Einsparung (emp.)	—	—	16.7 %
SB dezentral (norm.)	106.4	37.5	143.9
SB zentral (norm.)	—	—	130.8
Einsparung (norm.)	—	—	9.1 %

Korrelation $\hat{\rho} =$ 0.55 $\rightarrow$ Pooling-Einsparung empirisch: 16.7 %, parametrisch: 9.1 %

Exkurs: Normalverteilung

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion & Verteilungsfunktion

Formale Definition

Dichtefunktion $f(x)$ gibt die relative Häufigkeit an, mit der ein Wert $x$ auftritt und Verteilungsfunktion $F(x)$ ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \qquad F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\]

Symmetrie-Eigenschaft und 68–95–99,7-Regel::

\[F(-z) = 1 - F(z)\]

Wertebereich	Wahrscheinlichkeit
$\mu \pm 1\sigma$	≈ 68,3 %
$\mu \pm 2\sigma$	≈ 95,4 %
$\mu \pm 3\sigma$	≈ 99,7 %

Exkurs: Standardnormalverteilung

z-Transformation & Standardisierung

z-Transformation überführt jede Normalverteilung $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ in die Standardnormalverteilung $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$:

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \quad \Rightarrow P(X \leq x) = P\!\left(Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \Phi(z)\] $\rightarrow$ alle $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ lassen sich auf eine Tabelle zurückführen — die Standard-Normalverteilungstabelle $\Phi(z)$

Wichtige Quantile der $\mathcal{N}(0,1)$:

Servicegrad $\alpha$	$z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha)$
90,0 %	1,282
95,0 %	1,645
97,5 %	1,960
99,0 %	2,326
99,9 %	3,090

Exkurs: Quantils-/Verteilungstabelle

Ablesen von $\Phi(z)$ und Umkehrung $z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha)$

Φ(z) — Standardnormalverteilung (z ≥ 0)
	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04	+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990

Ablesen der Tabelle:
Gesucht: $P(X \leq x)$ für $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

Berechne $z = (x - \mu)/\sigma$
Zeile = erste Dezimalstelle von $z$
Spalte = zweite Dezimalstelle von $z$
Tabellenwert = $\Phi(z)$

Beispiel Lagerbestand:
$D \sim \mathcal{N}(500, 80^2)$, Servicegrad $\alpha = 95\,\%$

\[z_{0{,}95} = \Phi^{-1}(0{,}95) = 1{,}645\]

\[\Rightarrow\; \text{SB} = z_\alpha \cdot \sigma = 1{,}645 \cdot 80 \approx \mathbf{132\;\text{Stück}}\]

Unsicherheits- und Risikomanagement in SCs - Newsvendor-Modell

Unsicherheit in Supply Chains

Pooling
Newsvendor-Modell
Bullwhip-Effekt

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

das Newsvendor-Problem als einmalige Bestellentscheidung bei unsicherer Nachfrage einordnen,
Über- und Unterdeckungskosten bestimmen,
die kritische Fraktilregel herleiten und interpretieren,
eine optimale Bestellmenge bei gegebener Nachfrageverteilung berechnen,
den Einfluss zentraler Modellparameter auf die Bestellentscheidung erklären.

Literatur zur Vertiefung

Einführung Newsvendor: (Thonemann 2023, Kapitel 5).
Einperiodige Bestandsmodelle und Critical-Fractile-Logik: (Cachon and Terwiesch 2024, Kapitel 13).
Newsvendor-Modelle im Kontext des Inventory Managements: (Silver et al. 2017, Kapitel 9).

Fallbeispiel

Sushi-Boxen im Supermarkt

Ein Supermarkt bezieht täglich frisch produzierte Sushi-Boxen von der SushiFresh GmbH, einem regionalen Sushi-Hersteller im Rhein-Main-Gebiet.

Die Boxen werden morgens vorbereitet und vor Ladenöffnung geliefert.
Die Nachfrage ist bis zum Abend unsicher. Nachlieferungen tagsüber sind ausgeschlossen.
Nicht verkaufte Sushi-Boxen dürfen am Folgetag nicht mehr regulär verkauft werden.

Entscheidungsfrage: Wie viele Sushi-Boxen sollte der Lieferant vorbereiten?

Fallbeispiel

Kosten- und Erlösstruktur

Für eine Sushi-Box gelten die folgenden, vereinfachten Werte:

Größe	Bedeutung	Wert
Verkaufspreis $p$	Erlös je verkaufter Sushi-Box	10 EUR
Herstell- und Lieferkosten $c$	Kosten je vorbereiteter Sushi-Box	5 EUR
Restwert $v$	Erlös bei Abendrabatt bzw. Verwertung	2 EUR

typischerweise gilt allgemein: $p > c > v$

$\rightarrow$ Deckungsbeitrag pro verkaufte Sushi-Box: $c^u=p-c = 10-5=5$ €

$\rightarrow$ Verwertungsverlust pro nicht verkaufte Sushi-Box: $c^o=c-v=5-2=3$ €

Fallbeispiel

Zwei möglische Situation aus Sicht des Lieferanten

Zu viele Boxen:

weniger Nachfrage $D$ als produzierte Sushi-Boxen $q$ $\rightarrow$ Überbestand $q-D$
verkaufte Menge: $\min(D,q) = D$
Deckungsbeitrag aus Verkauf: $D \cdot c^u$
zusätzliche Kosten der Verwertung: $(q-D) \cdot c^o$

Gesamtdeckungsbeitrag: $P(D,q)= D \cdot c^u - (q - D) \cdot c^o$

Zu wenige Boxen:

mehr Nachfrage $D$ als produzierte Sushi-Boxen $q$ $\rightarrow$ Fehlmenge $D-q$
verkaufte Menge: $\min(D,q) = q$
gesamter Deckungsbeitrag: $q \cdot c^u$
Opportunitätskosten aus entgangenem Deckungsbeitrag: $(D-q) \cdot c^u$

Gesamtdeckungsbeitrag: $P(D,q) = q \cdot c^u$

Fallbeispiel

Mögliche Nachfrage & Produktionsmenge

Als vereinfachtes Miniaturbeispiel (z. B. für eine kleine Filiale oder einen Testverkauf) schätzt SushiFresh aus Verkaufshistorie, Wochentag, Wetterprognose und aktuellen Aktionen zunächst vier mögliche Nachfrageszenarien:

Nachfrage $D$	Wahrscheinlichkeit $P(D=d)$	Kumulierte Wahrscheinlichkeit $F(d)$
30 Sushi-Boxen	0,20	0,20
40 Sushi-Boxen	0,35	0,55
50 Sushi-Boxen	0,30	0,85
60 Sushi-Boxen	0,15	1,00

Welche Menge sollte der Lieferant morgens vorbereiten: 30, 40, 50 oder 60 Sushi-Boxen?

Fallbeispiel

Erwartetes Ergebnis

Setze $q=40$ Sushi-Boxen

Nachfrage $D$	Wahrsch. $P(D=d)$	Überbestand $q-D$	Fehlmenge $q-D$	Deckungs-beitrag $P$
30 Sushi-Boxen	0,20	10	0	120 €
40 Sushi-Boxen	0,35	0	0	200 €
50 Sushi-Boxen	0,30	0	10	200 €
60 Sushi-Boxen	0,15	0	20	200 €

erwarteter Gesamtdeckungsbeitrag: $\begin{align} E(P|q=40)= & 0.2 \cdot 120 + 0.35 \cdot 200 + \\ & 0.30 \cdot 200 + 0.15 \cdot 200= 184 \end{align}$

$E(P|q)$ für alle $q$

$\rightarrow$ maximaler erwarteter Deckungsbeitrag bei $q=50$ mit 190 € pro Tag

Newsvendormodell

Herleitung der Zielfunktion

Überdeckung $q > D$

\[P(D,q) = D \cdot c^u - (q-D)^+\cdot c^o\]

\[\Downarrow\]

Unterdeckung $q < D$

\[P(D,q) = q \cdot c^u\]

\[\Downarrow\]

\[\begin{align} P(D,q) =& \min(D,q) \cdot c^u - (q-D)^+ \cdot c^o \\ = & (D-(D-q)^+) \cdot c^u - (q-D)^+ \cdot c^o \\ = & \underset{\text{Deckungsbeitrag}}{D \cdot c^u} - \underset{\text{ Fehlmengenkosten}}{(D-q)^+ \cdot c^u} - \underset{\text{Überbestandskosten}}{(q-D)^+ \cdot c^o} \end{align} \] wobei $(q-D)^+ = \max(0,q-D)$, $(D-q)^+ = \max(0,D-q)$ und $\min(D,q) = D - (D-q)^+$

Newsvendor-Modell

Formales Modell

Problembeschreibung

Suche die Bestellmenge $q$, die den erwarteten Profit maximiert oder die erwarteten Kosten minimiert: \[ \underset{q}{\max} E(P(q)) = \mu \cdot c^u - E((D-q)^+) \cdot c^u - E((q-D)^+) \cdot c^o \; \Leftrightarrow \; \underset{q}{\min} E(C(q)) = E((D-q)^+) \cdot c^u + E((q-D)^+) \cdot c^o \] $\rightarrow$ minimiere das gewichtete Mittel aus erwarteter Fehlmenge $E((D-q)^+)$ und erwartetem Überbestand $E((q-D)^+)$

Diskrete Nachfrage (vgl. vorige Folie)

Kontinuierliche Nachfrage (Filiale Frankfurt) $D \sim N(280,55^2)$

Newsvendor-Modell

Formale Lösung

Die optimale Bestellmenge $q^*$ ist, wo die Anstiege der erwarteten Fehlmengenkosten $E((D-q)^+) \cdot c^u$ und der Überbestandskosten $E((q-D)^+)\cdot c^o$ gleich sind: \[ \left(1 - F(q^*)\right) \cdot c^u \overset{!}{=} F(q^*) \cdot c^o \quad \Longrightarrow \quad q^* = F^{-1} \left( \frac{c^u}{c^o + c^u} \right)\]

Diskrete Nachfrage (Verteilungsparameter vgl. vorige Folie) mit $c^u = 5$ und $c^o=3$

Kontinuierliche Nachfrage (Filiale Frankfurt) $D \sim N(280,55^2)$ mit $c^u = 5$ und $c^o=3$

Newsvendor-Modell

Kritisches Verhältnis

kritisches Verhältnis (critical ratio)

Die optimale Bestellmenge ist das Nachfragequantil, dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit dem Verhältnis von Fehlmengen- zu Gesamtkosten entspricht. Das kritische Verhältnis entscheidet also über die Risikobereitschaft

\[ CR = \frac{c^u}{c^o + c^u}\]

Fall 1: $c^u < c^o$

Fehlmengenkosten sind kleiner als Überbestandskosten
Überbestände sollten vermieden werden
$\rightarrow$ opt. Bestellmenge $q^*$ kleiner als Median der Nachfrageverteilung

Fall 2: $c^u = c^o$

Fehlmengenkosten = Überbestandskosten
Fehlmengen und Überbestände gleich bedeutend
$\rightarrow$ opt. Bestellmenge $q^*$ gleicht dem Median der Nachfrageverteilung

Fall 3: $c^u > c^o$

Fehlmengenkosten sind größer als Überbestandskosten
Fehlmengen sollten vermieden werden
$\rightarrow$ opt. Bestellmenge $q^*$ größer als Median der Nachfrageverteilung

Newsvendor-Modell

Optimale Lösung bei Normalverteilung

Normalverteilte Nachfrage

Im Falle normalverteilter Nachfrage mit $D \sim (\mu,\sigma^2)$ kann die optimale Bestellmenge durch Transformation zur Standardnormalverteilung berechnet werden. Für optimale Bestellmenge und Kosten gilt \[z^* = \Phi^{-1} \left( \frac{c^u}{c^o + c^u} \right) \qquad q^*=\mu + \sigma \cdot z^* \qquad E(C(q^*))=(c^u+c^o)\cdot \sigma \cdot \varphi\left( z^* \right) \]

Fallbeispiel Filiale Frankfurt mit $N(280,55^2)$

Fall 1: $c^u=1 < 5=c^o$

$q^* = 280 + 55 \cdot$ -0.97=226.8

Fall 2: $c^u = 3 = c^o$

$q^* = 280 + 55 \cdot$ 0=280

Fall 3: $c^u=5 > 1=c^o$

$q^* = 280 + 55 \cdot$ 0.97=333.2

Newsvendor-Modell

Typische Anwendungen

Voraussetzungen

Das Newsvendor wird besonders häufig verwendet, wenn keine Bedarfsglättung durch Lagerhaltung möglich ist und die Fehlmengenkosten gut bestimmbar sind

Typische Anwendungsbereich sind z.B. bei

Saison- und Aktionsartikel
Frischwaren mit kurzer Haltbarkeit
Tickets für Veranstaltungen oder Verkehrsmittel
…

Important

Darüber hinaus ist es die Basis für die Berechnung kostenoptimaler Sicherheitsbestände in Lagerhaltungssystemen.

Unsicherheits- und Risikomanagement in SCs - Bullwhip-Effekt

Unsicherheit in Supply Chains

Pooling
Newsvendor-Modell
Bullwhip-Effekt

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

den Bullwhip-Effekt entlang einer Supply Chain erklären
wesentliche Ursachen und Folgen des Bullwhip-Effekts beurteilen
Order-up-to-Level $S$ und Sicherheitsbestand $SB$ bestimmen
Maßnahmen zur Reduktion des Bullwhip-Effekts einordnen

Literatur zur Vertiefung

Grundlegende Ursachen und Gegenmaßnahmen des Bullwhip-Effekts: (Thonemann 2023, Kapitel 8, insbesondere 8.2).
Empirische Untersuchung der Informationsübertragung: (Bray and Mendelson 2012).
Messung, Aggregation und Wirkung von Bullwhip-Effekten: (Yao et al. 2020).

Fallbeispiel: Sushi-Boxen

Fortsetzung

Die SushiFresh-Lieferkette

SushiFresh GmbH ist ein regionaler Hersteller frischer Sushi-Boxen und beliefert sechs Supermarkt-Filialen im Rhein-Main-Gebiet. Für die Produktion ist SushiFresh auf die tägliche Lieferung von frischen Fischfilets angewiesen, die der Fischgroßhändler Nord-Fisch KG liefert. Die Sushi-Supply-Chain ist also so strukturiert:

\[ \text{Supermarkt-Filialen} \mathrel{ \mathop{\leftrightharpoons} \limits^{\text{Lieferung}}_{\text{Bestellung}} } \text{SushiFresh GmbH} \mathrel{ \mathop{\leftrightharpoons} \limits^{\text{Lieferung}}_{\text{Bestellung}} } \text{Nord-Fisch KG} \]

Supermarkt-Filialen

beobachten Endkundennachfrage (z. B. Filiale Frankfurt: $\mu=280$, $\sigma=55$)
bestellen täglich Sushi-Boxen bei SushiFresh

SushiFresh GmbH

bekommt Bestellungen der Filialen (=Nachfrage)
bestellt Fisch für die Sushi-Boxen bei Nord-Fisch KG und hält einen Bestand an Fisch als Vorrat

Nord-Fisch KG

bekommt Bestellungen von SushiFresh GmbH (=Nachfrage)
beschafft Rohfisch, produziert die Fisch-Filets und lagert diese, um schnell liefern zu können

Important

SushiFresh und Nord-Fisch Akteure halten einen (Sicherheits-)Bestand an Fischfilets, um Fehlmengen zu vermeiden $\rightarrow$ Wie hoch sollte dieser sein?

Fallbeispiel: SushiFresh GmbH

Situation von SushiFresh GmbH

Bestellprozess für Fischfilets

SushiFresh GmbH entscheidet täglich über seine Produktionsmenge an Sushi-Boxen für die Filiale Frankfurt (vgl. Folien Newsvendormodell). Basierend auf der Sushi-Box-Nachfrage, sei $d_t$ der Bedarf an Fischfilet-Einheiten an Tag $t$ (Filiale Frankfurt: $\mu=280$, $\sigma=55$). SushiFresh kann jeden Tag Nachschub bei Nord-Fisch KG bestellen. Die Bestellmenge an Tag $t$ sei $q_t$. Bestellte Fischfilets werden $l=2$ Tage später geliefert. Die physisch verfügbare Menge an Fischfilet-Einheiten sei $i_t$. Falls keine Fischfilets vorrätig sind, wird der Bedarf vorgemerkt ($b_t$) und später nachproduziert bzw. nachgeliefert.

Sushi-Boxen-Bestände

der physische Bestand $i_t$ wird berechnet als $i_t = \max(0,i_{t-1} + q_{t-2} - d_t)$
der Nettobestand $n_t$ berücksichtigt auch Fehlmengen $n_t = i_{t-1} + q_{t-2} - d_t$
der disponible Bestand $p_t$ berücksichtigt auch offene Bestellungen $p_t = n_{t-1} + q_{t-1} (+q_t)$

Fallbeispiel: SushiFresh GmbH

Bestand von SushiFresh GmbH (Filiale Frankfurt)

Nachfrage

Periode	Nachfrage
0	NA
1	234
2	256
3	344
4	410
5	278
6	322
7	212
8	256
9	278
10	234
11	256
12	278

Anfangslagerbestand $i_0 =$ 990 Zielbestand $S =$ 990

Fallbeispiel: SushiFresh GmbH

Festlegung des Ziellagerbestands

Bestellprozess & Ziellagerbestand $S$

Durch Festlegung des Ziellagerbestand $S$ ergibt sich die Bestellmenge und der Sicherheitsbestand:

\[ q_t = S - p_t \qquad \qquad sb_t = S - \mu \cdot (l+1) \]

bei gegebenen $\alpha$-Servicegrad

Übertragung der Formel für eine Periode (vgl. Pooling-Vorlesung) auf mehrere Perioden:

\[ S = \mu \cdot (l+1) + \sqrt{l+1} \cdot \sigma \cdot z_{\alpha}\]

bei gegebenen Fehlmengen-Kostensatz $c^u$ und Lagerhaltungskostensatz $c^o$

Übertragung der Newsvendor-Formel:

\[ S = \mu \cdot (l+1) + \sqrt{l+1} \cdot \sigma \cdot z_{\frac{c^u}{c^u+c^o}}\]

Important

Wichtig: Die Parameter $\mu$ und $\sigma$ sind die erwarte tägliche Nachfrage(-rate) (Nachfrage pro Periode) und die erwartete Abweichung (Standardabweichung). Beide Parameter werden geschätzt auf Basis der empirischen Kundennachfrage.

Fallbeispiel: SushiFresh GmbH

Bestellentscheidungen und deren Auswirkungen

Schätzung der Nachfrageparameter $\mu$ und $\sigma$

Die Parameter der Nachfrageverteilung werden durch statistische Schätzverfahren (Schätzer) ermittelt, wie dem (gleitenden) Mittelwert und der empirischen Standardabweichung:

$\hat{\mu} = \frac{1}{T} \sum_{\tau=t-T}^{t-1} d_\tau \qquad \qquad \hat{\sigma} = \sqrt{ \frac{1}{T-1} \sum_{\tau=t-T}^{t-1} (d_\tau - \hat{\mu})^2 } \rightarrow \;\text{Prognosefehler}$

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Bedarf d[t]	234	256	344.0	410.0	278.0	322	212.0	256.0	278.0	234.0	256	278
Mittelwert μ̂[t]	256	234	245.0	278.0	336.7	344	336.7	270.7	263.3	248.7	256	256
Standardabweichung σ̂[t]	1	1	15.6	58.2	77.3	66	67.2	55.4	55.4	33.6	22	22
Zielbestand S[t]	771	705	779.0	1000.0	1230.0	1220	1201.0	970.0	948.0	842.0	831	831
Bestellung q[t]	15	190	418.0	631.0	508.0	312	193.0	25.0	256.0	128.0	245	278

Beobachtung

Die Schwankung der Nachfrage $\sigma_d=$ 55.1 ist deutlich kleiner als die Standardabweichung der Bestellmengen $\sigma_q=$ 183.1 $\rightarrow$ zusätzliche Unsicherheit für Nord-Fisch KG wird generiert

Bullwhip-Effekt

Definition & Illustration

Definition (Cachon and Terwiesch 2024)

The bullwhip effect is present in a supply chain if the variability of demand at one level of the supply chain is greater than the variability of demand at the next downstream level in the supply chain, where variability is measured with the coefficient of variation.

Typische Verläufe

Upstream-Effekte

“Aufschaukeln” der Bestellmengen
Volatilität der Bestände steigt
häufigere Fehlmengen

Bullwhip-Effekt

Typische Beobachtungen

meist gilt $q_t \neq d_t$, denn die Bestellmenge enthält mehrere Bestandteile \[ q_t=\text{erwarteter Bedarf}+\text{Bestandskorrektur}+\text{Sicherheitsbestandskorrektur}.\]
für Lieferanten ist es nicht ersichtlich, ob Bestellmengenschwankungen langfristig Verschiebungen anzeigen (d.h. die Endkundennachfrage steigt) oder ob es kurzfristige Bestandskorrekturen sind $\rightarrow$ Schätzung der zukünftigen Nachfrage schwierig $\rightarrow$ Prognosefehler steigen $\rightarrow$ Bestellmengen schwanken stärker
daher folgt oft das die Schwankungen der Bestellmengen mit jeder Wertschöpfungsstufe steigen: $\operatorname{Var}(d_t)< \operatorname{Var}(q_t^{i})<\operatorname{Var}(q_t^{i+1})<\operatorname{Var}(q_t^{i+2})< ...$

Messung des Bullwhip-Effekts

Maße für den Bullwhip-Effekt sind die Varianzquotienten $B=\frac{\operatorname{Var}(q_t)}{\operatorname{Var}(d_t)}>1$ und $B=\frac{\operatorname{Var}(q^{i}_t)}{\operatorname{Var}(q^{i-1}_t)}>1$

$\rightarrow$ je größer $B$ desto stärker der Bullwhip-Effekt

Bullwhip-Effekt

Empirie (Bray and Mendelson 2012; Chen and Lee 2012; Yao et al. 2020)

$2/3$ der Unternehmen

In einer Stichprobe von 4.689 börsennotierten US-Unternehmen zeigten rund zwei Drittel eine positive Verstärkung der Beschaffungs- gegenüber der Absatzvariabilität.

$+15{,}8\%$ im Durchschnitt

Die mittlere Bullwhip-Verstärkung betrug $15{,}8\%$ der Nachfragevariabilität; der Median lag bei $6{,}7\%$.

Größenordnung

Im Mittel lag die quartalsweise Standardabweichung vorgelagerter Bestellungen um rund 20 Mio. US-Dollar über derjenigen der beobachteten Nachfrage.

Reale Performance-Folgen (Yao et al. 2020)

Ein stärkerer Bullwhip-Effekt geht mit einem höheren Bestandsverhältnis und zugleich mehr Fehlmengen einher $\rightarrow$ Sicherhietsbestände reichen nicht

Aggregation verdeckt das Problem

Auf Produkt-, Filial- oder Zeitaggregate verdichtete Kennzahlen unterschätzen den Bullwhip-Effekt gegenüber einer Messung auf SKU-Ebene.

Management-Botschaft

Nicht nur die Endkundennachfrage erzeugt Volatilität:

\[ \text{Nachfragesignal} + \text{lokale Disposition} = \text{Bestellvarianz} \]

Bullwhip-Effekt

Ursachen des Bullwhip-Effekts

Ursache	Wirkungsmechanismus
Lokale Prognosen	Bestellungen werden als tatsächliche Nachfrage interpretiert
Prognoseaktualisierung	Kleine Nachfrageänderungen führen zu Anpassungen der Zielbestände
Lange Lieferzeiten	Entscheidungen müssen weit in die Zukunft wirken
Auftragsbündelung	Seltene Großbestellungen erzeugen künstliche Bedarfsspitzen
Preisaktionen	Vorratskäufe verzerren die beobachtete Nachfrage
Rationierung	Akteure bestellen strategisch mehr als ihren tatsächlichen Bedarf
Fehlende Transparenz	Endkundennachfrage ist nicht für alle Stufen sichtbar
Lokale Zielsysteme	Stufen optimieren individuell statt systemweit

Bullwhip-Effekt

Typische Folgen

Operative Folgen

Schwankende Produktionsprogramme
Instabile Kapazitätsauslastung
Eiltransporte und Sondermaßnahmen
Hohe Bestände und dennoch Fehlmengen
Niedrigere Lieferfähigkeit
Höhere Planungsunsicherheit

Ökonomische Folgen

Höhere Kapitalbindung
Höhere Lagerkosten
Höhere Obsoleszenzrisiken
Höhere Rüst- und Produktionskosten
Höhere Transportkosten
Umsatz- und Deckungsbeitragsverluste

Bullwhip-Effekt

Gegenmaßnahmen

Hebel	Maßnahme	Wirkung auf Bestände und Varianz
Informationsfluss	Point-of-Sale-Daten teilen	$\sigma$ der Prognosefehler sinkt
Planung	Gemeinsame Prognosen und CPFR	Lokale Prognoseverzerrungen sinken
Bestellpolitik	Kleine, häufige Bestellungen	Auftragsbündelung sinkt
Lieferzeit	Informations- und Lieferzeiten verkürzen	Risikozeitraum sinkt
Preise	Stabile Preise statt Vorratsanreize	Künstliche Bedarfsspitzen sinken
Allokation	Rationierung nach historischen Mengen	Strategische Überbestellung sinkt
Steuerung	Gesamtoptimum statt lokaler Zielgrößen	Bestell- und Bestandsentscheidungen werden koordiniert

Distributionslogistik

Lager und Kommissionierung
Verkehrsmittel, Antriebe und Kosten

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

Lagertypen und Kommissionierverfahren unterscheiden und für ein Sortiment auswählen,
feste, chaotische und zugriffsorientierte Lagerplatzvergabe (ABC, COI) vergleichen und anwenden,
Kommissioniertouren mit S-Shape, Return und Largest Gap bestimmen und mit der optimalen Tour vergleichen,
das Zusammenspiel von Lagerplatzvergabe und Routing beurteilen.

Literatur zur Vertiefung

Lager- und Kommissioniersysteme: (ten Hompel and Schmidt 2010); (Günther and Tempelmeier 2012).
Übersicht zur Kommissionierplanung: (de Koster et al. 2007).
Routing und Lagerplatzvergabe: (Ratliff and Rosenthal 1983); (Hall 1993); (Petersen and Schmenner 1999).

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Sushi@Home: Das neue Kommissionierlager in Raunheim

Ausgangslage

SushiFresh setzt eine der Wachstumsideen aus der Einheit Distributionsstrukturen um: den Onlineshop Sushi@Home mit Kits zum Selbermachen, Saucen, Getränken und Zubehör. Dafür entsteht in Raunheim ein Fachbodenlager mit 8 Gängen und 192 Fächern für 192 Artikel.

Problem nach dem Start

Rund 300 Aufträge pro Tag mit Ø 7,5 Positionen. Die Artikel wurden eingelagert, „wo gerade Platz war“. Die Picker laufen lange Wege, der Versand am Nachmittag wird knapp.

Fragen

Welcher Lagertyp und welches Kommissionierverfahren passen?
Welcher Artikel gehört auf welchen Platz?
In welcher Reihenfolge sollen die Picker die Fächer anlaufen?

Lagerfunktionen und Lagerprozesse

Warum und wie gelagert wird

Funktionen eines Lagers

Ausgleich: Mengen und Zeitpunkte von Zu- und Abgängen entkoppeln (Losgrößen, Saison)
Sicherung: Schutz gegen Nachfrage- und Lieferunsicherheit (Einheit Pooling)
Sortimentsbildung: aus sortenreinen Lieferungen kundenspezifische Aufträge zusammenstellen
Veredelung: Reifen, Konfektionieren, Verpacken

Reserve- und Kommissionierlager

Häufig werden Reservelager (Paletten, große Mengen, platzsparend) und Kommissionierlager (Anbruchmengen, gut erreichbar) getrennt. Der Nachschub füllt die Kommissionierplätze auf. Bei SushiFresh: Palettenregal für Reis-Säcke und Getränke, Fachbodenregal für die Kommissionierung.

Lagertypen

Statische Lagersysteme im Überblick

Lagertyp	Ladeeinheit	Zugriff	Flächennutzung	Automatisierung	Geeignet für
Bodenlager (Block)	Paletten, Säcke	nur obere/vordere Einheit (LIFO)	sehr hoch	keine	wenige Artikel, große Mengen
Bodenlager (Zeile)	Paletten	jede Einheit	mittel	keine	mittlere Artikelzahl
Palettenregal	Paletten	jede Palette	mittel	Stapler	breites Sortiment, Reserve
Durchlaufregal	Paletten, Behälter	FIFO (Ein- und Ausgabeseite getrennt)	hoch	Schwerkraft	Frische, Haltbarkeit (FIFO)
Fachbodenregal	Kartons, Kleinteile	jedes Fach	gering	manuell	manuelle Kommissionierung
Hochregallager (HRL)	Paletten	jede Palette (RBG)	sehr hoch	vollautomatisch	hohe Durchsätze, große Bestände

Auswahlkriterien

Artikelzahl, Menge je Artikel, Zugriffshäufigkeit, Ladeeinheit, Haltbarkeit (FIFO, Mindesthaltbarkeit), Temperaturzone, Investitionsbudget.

SushiFresh

Fachbodenregal für die Kommissionierung. Für kühlpflichtige Kit-Bestandteile ein Durchlaufregal in der Kühlzelle: Die Befüllung von hinten sichert FIFO.

Lagertypen

Automatisierte Systeme: Ware zur Person

System	Prinzip	Stärke	Schwäche
Automatisches Kleinteilelager (AKL)	Regalbediengerät bringt Behälter zum Pickplatz	kompakt, bewährt	Investition, begrenzter Durchsatz je Gasse
Shuttle-System	Shuttle je Ebene, sehr hohe Behälterdurchsätze	Durchsatz	hohe Investition
Würfelspeicher (z. B. AutoStore)	Behälter gestapelt, Roboter greifen von oben	Flächennutzung, modular	Zugriff auf untere Behälter dauert
Liftsystem / Paternoster	Tablare werden zur Bedienöffnung gefahren	günstiger Einstieg, kompakt	geringe Leistung
Autonome mobile Roboter (AMR)	Roboter fahren Regale oder Behälter zum Picker	flexibel, skalierbar	Software, Flottenmanagement

Bei Ware-zur-Person entfallen die Wege des Pickers. Picker Routing wird dann zur Reihenfolgeplanung der Behälter. Investitionen lohnen sich bei hohen Auftragszahlen und stabiler Auslastung. Für 300 Aufträge pro Tag bleibt SushiFresh zunächst bei Person-zur-Ware.

Lagerplatzvergabe

Feste, chaotische und zonierte Lagerplatzvergabe

Strategie	Regel	Vorteil	Nachteil
Feste Lagerplatzvergabe	Jeder Artikel hat einen festen Platz	Picker kennen die Plätze, kein IT-System nötig	Platz für den Maximalbestand jedes Artikels nötig
Chaotische (freie) Lagerplatzvergabe	Einlagerung auf irgendeinen freien Platz	hohe Flächennutzung, flexibel bei Sortimentswechsel	Lagerverwaltungssystem (LVS) zwingend, Wege nicht gesteuert
Zonierte Vergabe (z. B. ABC-Zonen)	Feste Zone je Klasse, innerhalb der Zone frei	kurze Wege für Schnelldreher bei guter Flächennutzung	Klassen pflegen, Umlagerungen bei Nachfrageänderung

Platzbedarf

fest: $\displaystyle \sum_i \max_t B_{i}(t)$
chaotisch: $\displaystyle \max_t \sum_i B_{i}(t)$

mit Bestand $B_i(t)$ von Artikel $i$ in Lagerplätzen

Da nicht alle Artikel gleichzeitig ihren Höchstbestand haben, gilt immer: chaotisch ≤ fest. Im Mittel ist bei gleichmäßigem Abbau nur gut die Hälfte des Maximalbestands belegt, die chaotische Lagerung muss aber die gemeinsame Spitze abdecken.

Lagerplatzvergabe

Beispiel: Platzbedarf im Reservelager

Zwölf Artikel im Reservelager, Bestand jeweils sägezahnförmig zwischen Bestellmenge $Q_i$ und null (Bestellzyklus 6–14 Tage, zeitlich versetzt).

Ergebnis

fest: $\sum_i Q_i =$ 56 Plätze
chaotisch: höchstens 44 Plätze gleichzeitig belegt (im Mittel nur 36)
Ersparnis: 21 %

Bei synchronen Bestellungen (alle Artikel am selben Tag) schrumpft der Vorteil. Bei schwankender Nachfrage braucht auch die chaotische Lagerung einen Puffer.

Zugriffsorientierte Platzvergabe

ABC-Analyse der Zugriffe

Sushi@Home-Sortiment

A-Artikel (20 % der Artikel): 69 % aller Picks, z. B. Sushi-Reis, Nori, Sojasauce
B-Artikel (30 %): 17 % der Picks
C-Artikel (50 %): 14 % der Picks, z. B. Zubehör, Geschirr

Grundregel

Schnelldreher gehören auf Plätze mit kurzem Weg (und in Griffhöhe), Langsamdreher dürfen weiter weg liegen. Was „kurzer Weg“ heißt, hängt aber von der Routingstrategie ab, dazu später mehr.

Zugriffsorientierte Platzvergabe

Cube-per-Order-Index (COI)

Idee (Heskett 1963): Artikel mit viel Platzbedarf belegen viele gute Plätze. Deshalb wird nicht nur die Zugriffshäufigkeit, sondern das Verhältnis aus Platzbedarf und Zugriffen betrachtet: \[\text{COI}_i = \frac{\text{Platzbedarf}_i}{\text{Zugriffe}_i}\] Artikel werden nach aufsteigendem COI den Plätzen mit den kürzesten Wegen zugeordnet.

Unter bestimmten Annahmen (Weg je Zugriff proportional zur Distanz des Platzes, Return-Routing) ist die COI-Regel optimal. Bei S-Shape-Routing oder Aufträgen mit vielen Positionen ist sie eine Heuristik.

Artikel	Fächer	Zugriffe/Woche	COI (×10⁻³)	Rang nach Zugriffen	Rang nach COI
Sushi-Reis 1 kg	4	900	4,44	1	4
Nori-Blätter	1	700	1,43	3	1
Sojasauce	2	800	2,50	2	3
Stäbchen	1	600	1,67	4	2
Bambusmatte	3	400	7,50	5	5
Reiskocher	6	60	100,00	6	6

Der Sushi-Reis wird am häufigsten gegriffen, braucht aber 4 Fächer. Nach COI erhalten Nori und Stäbchen die besten Plätze, der Reis rückt auf Rang 4.

Lagerplatzvergabe bei SushiFresh

Drei Varianten im Layout

Zufällig (chaotisch)

ABC am Gangkopf (vorne in allen Gängen)

ABC gangweise (A in den ersten Gängen)

■ A-Artikel ■ B-Artikel ■ C-Artikel. Innerhalb einer Zone werden die Artikel zufällig verteilt.

Beide ABC-Varianten bringen die Schnelldreher näher an das Depot, aber auf unterschiedliche Weise. Welche besser ist, entscheidet die Art, wie die Picker durch das Lager laufen.

Kommissionierung

Begriffe und Zeitanteile

Begriffe

Kommissionierung: Zusammenstellen von Teilmengen aus einem Sortiment nach einem Auftrag
Auftrag: Kundenauftrag bzw. Kommissionierauftrag
Position: Auftragszeile (ein Artikel in bestimmter Menge)
Pick: einzelner Greifvorgang
Kommissionierleistung: Positionen bzw. Picks pro Stunde

Typische Aufteilung der Zeit eines Pickers bei Person-zur-Ware (de Koster et al. 2007).

Rund die Hälfte der Zeit entfällt auf das Gehen. Kürzere Wege durch gute Lagerplatzvergabe und Routing sind deshalb der größte Hebel für die Kommissionierleistung.

Kommissionierverfahren

Gestaltungsmöglichkeiten

Merkmal	Varianten	Wirkung
Bereitstellung	Person-zur-Ware (statisch) · Ware-zur-Person (dynamisch)	Wegzeit vs. Investition
Auftragsbearbeitung	einstufig, auftragsweise: ein Auftrag pro Tour	einfach, kurze Durchlaufzeit je Auftrag
	zweistufig, serienweise (Batch): mehrere Aufträge pro Tour, danach Sortieren	weniger Wege, aber Sortieraufwand und Fehlerrisiko
Zonen	einzonig · mehrzonig (sequenziell weitergeben oder parallel und zusammenführen)	kurze Wege je Picker, Abstimmung nötig
Informationsbereitstellung	Papier-Pickliste · Scanner/MDE · Pick-by-Voice · Pick-by-Light · Datenbrille	Fehlerquote, Geschwindigkeit, Hände frei

Kommissionierzeit eines Auftrags

\[t = t_{\text{Basis}} + \frac{w}{v} + n \cdot t_{\text{Pos}}\] Basiszeit $t_{\text{Basis}}$, Weglänge $w$, Gehgeschwindigkeit $v$, Positionen $n$ mit Greif- und Bestätigungszeit $t_{\text{Pos}}$

SushiFresh

Person-zur-Ware, einstufig, auftragsweise, eine Zone, Scanner (Artikel und Fach werden bestätigt). Nur die Weglänge $w$ hängt von Lagerplatzvergabe und Routing ab.

Picker Routing

Ein TSP im Lager

Problemstellung: Gegeben ist eine Pickliste mit $n$ Positionen. Gesucht ist die kürzeste Rundtour vom Depot zu allen Pickpositionen und zurück. Das ist ein Rundreiseproblem (Traveling Salesman Problem, TSP) auf einem speziellen Graphen aus Gängen und Quergängen. Allgemein behandeln wir das TSP später in der Einheit Tourenplanung.

Annahmen (Ein-Block-Layout)

parallele Gänge, Quergang vorne und hinten
Picker greift beidseitig, Gangbreite vernachlässigt
Depot am vorderen Quergang links

Distanz zwischen Pickpositionen $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$:

gleicher Gang: $d = |y_1 - y_2|$
verschiedene Gänge: $d = |x_1 - x_2| + \min\big(y_1 + y_2,\; 2Y - y_1 - y_2\big)$

(Umweg über vorne oder hinten; $Y$ = Lage des hinteren Quergangs)

Lösungswege

Optimal: Für dieses Layout gibt es ein effizientes exaktes Verfahren (dynamische Programmierung) (Ratliff and Rosenthal 1983). Alternativ: allgemeine TSP-Heuristiken auf der Distanzmatrix (später in der Einheit Tourenplanung)
Einfache Routingstrategien: S-Shape, Return, Midpoint, Largest Gap (Hall 1993)

Warum einfache Strategien?

Picker folgen in der Praxis lieber leicht merkbaren Mustern. Optimale Touren wirken oft unlogisch, werden nicht eingehalten und führen in engen Gängen zu Staus.

Picker Routing

Beispielauftrag bei chaotischer Lagerung

Nr.	Artikel	Menge	Klasse	Gang	Fach
1	Sushi-Reis 1 kg	2	A	6	L1
2	Sojasauce 150 ml	3	A	2	R9
3	Stäbchen 10 Paar	1	A	7	R8
4	Bambusmatte	1	A	3	L10
5	Sriracha-Sauce	1	A	1	L12
6	Sushi-Bazooka	1	B	6	R4
7	Reis-Messbecher	1	B	8	L7
8	Keramik-Sojaschale	2	C	6	L9

Auftrag 4711 von Sushi@Home: ein „Starter-Kit“ mit Zubehör. Die Artikel liegen verstreut über 6 Gänge.

Routingstrategie S-Shape

Jeden Gang mit Picks vollständig durchlaufen

Regel (auch: Traversal)

Jeder Gang mit mindestens einem Pick wird vollständig durchlaufen, abwechselnd nach hinten und nach vorne.
Bei ungerader Gangzahl wird der letzte Gang nur bis zum hintersten Pick betreten (Hin und Zurück).
Gänge ohne Pick werden übersprungen.

Bewertung

Weglänge: 184,0 m. Einfach zu merken und gut bei vielen Picks pro Gang. Bei wenigen, weit vorne liegenden Picks wird viel unnötig gelaufen.

Routingstrategie Return

Jeden Gang von vorne betreten und umkehren

Regel

Jeder Gang mit Picks wird vom vorderen Quergang betreten.
Der Picker geht bis zum hintersten Pick des Gangs und kehrt um.
Der hintere Quergang wird nie benutzt.

Bewertung

Weglänge: 232,0 m. Gut, wenn Picks nahe am vorderen Gangende liegen. Bei Picks tief im Gang wird jeder Meter doppelt gelaufen.

Routingstrategie Largest Gap

Die größte Lücke im Gang nicht laufen

Regel (Hall 1993)

Erster und letzter Gang mit Picks werden vollständig durchlaufen.
In den Gängen dazwischen wird die größte Lücke bestimmt: zwischen benachbarten Picks bzw. zu den Quergängen.
Picks vor der Lücke werden vom vorderen, Picks dahinter vom hinteren Quergang aus geholt (jeweils hin und zurück).

Bewertung

Weglänge: 166,5 m. Etwas schwerer zu merken, schneidet aber in Studien meist am besten unter den einfachen Strategien ab.

Optimale Tour

Exakte Lösung durch vollständige Enumeration

Strategie	Weglänge	über Optimum
S-Shape	184,0 m	+16 %
Return	232,0 m	+46 %
Largest Gap	166,5 m	+5 %
Optimal (TSP)	159,0 m	+0 %

Beobachtung

Die optimale Tour (40.320 mögliche Reihenfolgen geprüft) kombiniert Elemente der einfachen Strategien: manche Gänge werden durchlaufen, andere von vorne oder hinten angelaufen.

Für größere Aufträge: Ratliff-Rosenthal-Algorithmus oder TSP-Heuristiken wie Nearest Neighbor + 2-opt (behandelt in der späteren Einheit Tourenplanung).

Picker Routing in R

Implementierung der Strategien

# pk: Picks mit Gang (gang) und Tiefe (y)
# Ergebnis: Wegpunkte ab/bis Depot (0, 0)
route_sshape <- function(pk) {
  g <- sort(unique(pk$gang)); m <- length(g)
  wp <- list(c(0, 0)); vorne <- TRUE
  for (k in seq_len(m)) {
    x <- gang_x[g[k]]; ys <- pk$y[pk$gang == g[k]]
    if (k == m && m %% 2 == 1) {        # letzter Gang:
      wp <- c(wp, list(c(x, 0), c(x, max(ys)), c(x, 0)))
    } else if (vorne) {                 # nach hinten
      wp <- c(wp, list(c(x, 0), c(x, Y))); vorne <- FALSE
    } else {                            # nach vorne
      wp <- c(wp, list(c(x, Y), c(x, 0))); vorne <- TRUE
    }
  }
  do.call(rbind, c(wp, list(c(0, 0))))
}

route_return <- function(pk) {
  wp <- list(c(0, 0))
  for (j in sort(unique(pk$gang))) {
    x <- gang_x[j]
    wp <- c(wp, list(c(x, 0),
                     c(x, max(pk$y[pk$gang == j])),
                     c(x, 0)))
  }
  do.call(rbind, c(wp, list(c(0, 0))))
}

# Weglänge: Summe der Rechteck-Abstände
weg_laenge <- function(wp)
  sum(abs(diff(wp[, 1])) + abs(diff(wp[, 2])))

Alle Strategien liefern Wegpunkte. Daraus ergeben sich Weglänge und Grafik. Largest Gap und die TSP-Lösung sind im Quellcode der Folien enthalten.

Lagerplatzvergabe und Routing

Simulation mit 300 Aufträgen

Ergebnisse

S-Shape profitiert von gangweiser ABC-Zonierung: Schnelldreher in wenigen Gängen → wenige Gänge zu durchlaufen.
Return profitiert von ABC am Gangkopf: Schnelldreher vorne → kurze Stichwege.
Die falsche Kombination verschenkt einen Großteil des Potenzials.
NN + 2-opt ist eine allgemeine TSP-Heuristik (Nearest Neighbor als Startlösung, verbessert durch 2-opt; Details in der späteren Einheit Tourenplanung) und dient hier als Referenz nahe am Optimum.

Lagerplatzvergabe und Routing müssen gemeinsam geplant werden (Petersen and Schmenner 1999). Bestes Paar hier: ABC gangweise + NN + 2-opt mit Ø 111 m statt 159 m heute.

Kommissionierleistung bei SushiFresh

Was bringen die kürzeren Wege?

Szenario	Weg (m)	Zeit/Auftrag (s)	Anteil Weg	Aufträge/h	Picker-Std./Tag
Heute: zufällig + S-Shape	159	333	59 %	10,8	27,8
ABC gangweise + S-Shape	129	296	54 %	12,2	24,7
ABC gangweise + Largest Gap	118	282	52 %	12,7	23,5
ABC gangweise + NN + 2-opt	111	274	51 %	13,1	22,8

Annahmen: $v$ = 0,8 m/s mit Wagen, $t_{\text{Basis}}$ = 60 s, $t_{\text{Pos}}$ = 10 s, Ø 7,5 Positionen, 300 Aufträge pro Tag.

Ergebnis

Allein durch Umlagern der Artikel und eine feste Laufregel sinkt der Personalbedarf von 27,8 auf 23,5 Picker-Stunden pro Tag (15 %), ohne Investition in Technik.

Umsetzung

Die ABC-Zonierung erfordert eine einmalige Umlagerung und eine regelmäßige Überprüfung der Klassen (z. B. quartalsweise, Saisonartikel!). Das Lagerverwaltungssystem sortiert die Pickliste in Laufreihenfolge.

Sammelkommissionierung

Mehrere Aufträge in einer Tour

Prinzip

Der Picker holt die Positionen mehrerer Aufträge in einer Tour (z. B. Wagen mit mehreren Kisten). Danach wird nach Aufträgen getrennt, entweder direkt am Wagen (pick and sort) oder in einem zweiten Schritt.

Beispiel (ABC gangweise, Largest Gap)

Auftrag 1 allein: 138 m
Auftrag 2 allein: 141 m
Beide zusammen: 162 m statt 280 m (42 % weniger)

Batchbildung ist selbst ein Optimierungsproblem, z. B. per Savings-Logik (Ausblick in der späteren Einheit Tourenplanung): Aufträge mit überlappenden Gängen kombinieren.

Kernaussagen

Das Wichtigste in Kürze

Lager gleichen aus, sichern ab und bilden Sortimente. Der Lagertyp richtet sich nach Ladeeinheit, Artikelzahl, Zugriffshäufigkeit und Haltbarkeit (FIFO).
Chaotische Lagerplatzvergabe spart Fläche (SushiFresh-Beispiel: 21 %), zugriffsorientierte Vergabe (ABC, COI) spart Wege.
Die Kommissionierung ist der teuerste Lagerprozess. Rund die Hälfte der Zeit ist Wegzeit.
Picker Routing ist ein TSP im Lager. Einfache Strategien (S-Shape, Return, Largest Gap) sind praxistauglich und oft nahe am Optimum.
Lagerplatzvergabe und Routing müssen zusammenpassen: S-Shape mit gangweiser Zonierung, Return mit Zonierung am Gangkopf.
Sammelkommissionierung reduziert die Wege weiter, erfordert aber Sortieraufwand.

Übung

Übungsaufgaben zu dieser Einheit

Aufgaben zur Klausurvorbereitung (Teil 1) und eine vertiefende Fallstudie (Teil 2) finden Sie in Fallstudie 7: Lagerplanung und Kommissionierung.

Distributionslogistik - Verkehrsmittel, Antriebe und Kosten

Distributionslogistik

Lager und Kommissionierung
Verkehrsmittel, Antriebe und Kosten

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

Verkehrsträger, Verkehrsmittel und Antriebstechnologien unterscheiden und für eine Transportaufgabe auswählen,
die Einschränkungen batterieelektrischer Fahrzeuge, von Lastenrädern und Drohnen für die Transport- und Tourenplanung ableiten,
Transportkostensätze berechnen, Antriebe über die Gesamtkosten (TCO) und Eigen- vs. Fremdtransport vergleichen,
Transportemissionen nach ISO 14083 berechnen und Sendungen zuordnen.

Literatur zur Vertiefung: Verkehrsträger (Chopra and Meindl 2025; Günther and Tempelmeier 2012), E-VRP (Schneider et al. 2014), Lkw-Drohnen-Kombination (Murray and Chu 2015), Emissionsbilanzierung (ISO 2023; Smart Freight Centre 2023).

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Drei Transportentscheidungen

1. Beschaffung

Der Lachs kommt aus Norwegen (ca. 1.700 km). Bisher per Kühl-Lkw mit Fähre. Ein Lieferant bietet eine Kombination aus Lkw und Bahn an.

Welcher Verkehrsträger passt zu Frischfisch?

2. Fuhrpark

Das Leasing des 7,5-t-Diesel-Kühl-Lkw läuft aus. Alternative: ein batterieelektrischer Kühl-Lkw.

Was kostet das, und wie weit kommt ein E-Kühl-Lkw überhaupt?

3. Letzte Meile

Pilot für einen Lieferdienst an Endkunden in Frankfurt. Im Gespräch: E-Transporter, Lastenrad oder sogar Drohne.

Was ist pro Zustellung am günstigsten?

Dazu brauchen wir einen Überblick über Verkehrsträger und Antriebe und ein Werkzeug zur Berechnung von Transportkostensätzen. Die bisher verwendeten Kostensätze (z. B. 0,02 €/(Box·km) aus Einheit Standortplanung II) werden wir dabei nachrechnen.

Begriffe

Verkehrsträger, Verkehrsmittel, Ladeeinheiten

Verkehrsträger

Infrastruktur, auf der Verkehr stattfindet:

Straße
Schiene
Wasser (Binnen-, Seeschifffahrt)
Luft
Rohrleitung

Verkehrsmittel

Fahrzeuge, die Güter bewegen:

Lastenrad, Transporter, Lkw, Sattelzug
Güterzug (Ganzzug, Einzelwagen)
Binnen- und Seeschiff
Frachtflugzeug, Drohne

Ladeeinheiten

Standardisierte Behälter, die zwischen Verkehrsmitteln wechseln:

Palette, Rollcontainer
Wechselbrücke, Sattelauflieger
ISO-Container (TEU/FEU)

Verkehrsketten

Unimodal: ein Verkehrsträger
Multimodal: mehrere Verkehrsträger
Intermodal / kombinierter Verkehr: mehrere Verkehrsträger mit derselben Ladeeinheit, ohne die Ware umzuladen

Verkehrsträger im Vergleich

Kennzahlen & Charakteristika

Verkehrsträger	Typische Einheit	Geschwindigkeit	Netz	Kosten (€/tkm)	THG (g CO₂e/tkm)	Typische Güter
Straße	Sattelzug ~25 t Nutzlast	60–80 km/h	sehr dicht	~0,10–0,15	~110–120	Stückgut, Frische, Teilladungen
Schiene	Ganzzug ~1.000–2.000 t	40–60 km/h	mittel	~0,05–0,08	~16–18	Massengut, Container, Autos
Binnenschiff	Großmotorgüterschiff ~2.000–3.000 t	10–20 km/h	dünn (Wasserstraßen)	~0,02–0,03	~31–33	Massengut, Container
Seeschiff	Containerschiff bis ~240.000 t	25–40 km/h	Häfen	~0,005–0,01	~5–20	Container, Massengut
Luft	Frachtflugzeug ~100–120 t	800–900 km/h	Flughäfen	~0,3–0,6	~500–1.000	hochwertig, eilig, verderblich

Lesart

Kein Verkehrsträger dominiert. Die Wahl hängt vom Produkt ab (Wert, Verderblichkeit, Gewicht), von der Entfernung und von der Bedeutung der Lieferzeit (vgl. Strategic Fit).

Hinweis THG-Raten & Kostensätze

Emissionsraten sind grobe Näherung basierend auf TREMOD (Umweltbundesamt 2024). Diese hängen stark von der Auslastung/Beladung und den technischen Details der eingesetzten Fahrzeuge ab. Ähnliches gilt für die Kostensätze.

Logistikdienstleister

Wer bietet Transportleistungen an?

Akteur	Leistung	Vertrag	Beispiel SushiFresh
Frachtführer	führt die Beförderung selbst durch (eigene Fahrzeuge)	Frachtvertrag (§ 407 HGB)	regionaler Kühltransporteur
Spediteur	organisiert die Beförderung im eigenen Namen, beauftragt Frachtführer	Speditionsvertrag (§ 453 HGB)	organisiert den Lachs aus Norwegen
KEP-Dienst	Kurier-, Express-, Paketsendungen in eigenen Netzen (Hub-and-Spoke)	Frachtvertrag, AGB	Versand Sushi@Home (Einheit Lager und Kommissionierung)
Kontraktlogistiker (3PL)	langfristige, kundenspezifische Leistungsbündel: Lager, Kommissionierung, Transport, Mehrwertdienste	individueller Logistikvertrag	Betrieb des Sushi@Home-Lagers?
4PL / Lead Logistics Provider	steuert das gesamte Logistiknetz inkl. weiterer Dienstleister, oft ohne eigene Anlagen	Rahmenvertrag	für SushiFresh zu groß
Digitale Spedition / Frachtbörse	Plattform vermittelt Ladungen und Laderaum, oft mit Echtzeit-Preisen	Vermittlung bzw. Spedition	Zusatztouren in der Saison

Der Logistikmarkt ist sehr fragmentiert: viele kleine Frachtführer und wenige große Netzwerkanbieter. Für Verlader bedeutet das: Preise und Kapazitäten schwanken stark mit Saison, Dieselpreis und Fahrermangel.

Kombinierter Verkehr

Wann lohnt sich die Bahn im Hauptlauf?

Kostenstruktur (je Ladeeinheit, z. B. Sattelauflieger)

Straße direkt: $K_S = k_S \cdot d_S$
Kombiniert: $K_{KV} = 2 \cdot u + k_Z \cdot (d_V + d_N) + k_B \cdot d_B$

typische Kosten- & Distanzstrukturen

$d_S < d_V+d_N+d_B$ und $d_S \approx d_B$
$k_B < k_S < k_Z$
$u$ … Umladekosten

Sei $d_B = d_S = d$ und $d_V+d_N = \alpha \cdot d$, dann gilt für die Break-Even-Distanz: \[d^*=\frac{2 \cdot u}{k_S-k_B-\alpha\cdot k_Z}\] Hierbei ist $\alpha<1$ der Umwegfaktor. Der maximal erlaubte Umweg ist dabei $\alpha < \frac{k_S - k_B}{k_Z}$

Straßengüterverkehr

Fahrzeugklassen & Antriebe

Fahrzeug	zul. Gesamtgewicht	Nutzlast	Paletten	Führerschein	Lkw-Maut	Typischer Einsatz
Lastenrad	bis ~0,4 t (System)	100–250 kg	–	keiner (Pedelec)	nein	Innenstadt, KEP
Transporter (N1)	bis 3,5 t	~1 t	3–5	B	nein	KEP, Handwerk, letzte Meile
Leichter Lkw (N2)	7,5 t	~2–3 t	8–15	C1	ja (> 3,5 t)	Filialbelieferung, Kühlverteilung
Motorwagen (N3)	12–26 t	~5–15 t	15–20	C	ja	Regionalverteilung
Sattelzug (N3)	40 t (E-Lkw: bis 42 t)	~25 t	33	CE	ja	Fernverkehr, Hauptlauf

Antrieb	Energieträger	Reichweite	Tanken/Laden	Infrastruktur	Lkw-Maut 2026
Diesel (fossil)	Diesel	> 1.500 km	Minuten	flächendeckend	voll
HVO / Biodiesel	Diesel aus Rest-/Abfallstoffen	> 1.500 km	Minuten	wachsend	voll
Bio-LNG / CNG	Methan (fossil/biogen)	~1.000 km	Minuten	dünn	voll
Batterieelektrisch (BEV)	Strom aus Batterie	~200–500 km	45 min (MCS) bis Stunden	Depot + wachsend	befreit bis 06/2031
Brennstoffzelle (FCEV, H₂)	Wasserstoff → Strom	~400–800 km	~15 min	sehr dünn	befreit bis 06/2031
Oberleitung (O-Lkw)	Strom aus Fahrdraht + Batterie	unbegrenzt unter Draht	während der Fahrt	Teststrecken (z. B. A5 Hessen)	befreit bis 06/2031

Planungsrelevante Parameter allgemein

Kapazität (Gewicht, Fläche, Volumen), Fahrerqualifikation, Maut, Zufahrts- und Durchfahrtsverbote, Lenk- und Ruhezeiten (ab 3,5 t: nach 4,5 h Lenkzeit 45 min Pause).

Planungsrelevante Parameter BEV

begrenzte Reichweite, lange Ladezeiten, Ladeinfrastruktur, höheres Gewicht

Batterieelektrische Lkw

Technik und Rahmenbedingungen 2026

Technik (schwerer Fernverkehr)

Batterien ~500–800 kWh, Herstellerreichweite ~500 km bei 40 t, in der Praxis 15–30 % weniger
Verbrauch ~1,2–1,8 kWh/km (Last, Wetter, Tempo, Topografie)
Laden: Depot über Nacht (50–150 kW), unterwegs CCS bis ~400 kW oder Megawatt Charging (MCS)
Kaufpreis etwa das 2-Fache eines Diesel-Sattelzugs

Rahmenbedingungen in Deutschland

Lkw-Maut: emissionsfreie Lkw sind bis 30.06.2031 befreit (SIHK zu Hagen 2026). Diesel-Sattelzug (Euro VI, CO₂-Klasse 1): 34,8 ct/km (Toll Collect GmbH 2024)
Gewicht: bis zu 2 t Zusatzgewicht für emissionsfreie Lkw (z. B. 42 statt 40 t). Die Revision der EU-Richtlinie 96/53/EG sieht je nach Achskonfiguration Zuschläge bis 4 t vor, die Umsetzung steht noch aus.
Strom: Depot ~20–28 ct/kWh netto, öffentliches Schnellladen ~38–60 ct/kWh netto

Batterieelektrische Lkw

Was beeinflusst die Reichweite?

Einflussfaktoren

Masse: Beladung, Batteriegewicht
Geschwindigkeit: Luftwiderstand steigt quadratisch
Topografie: Steigungen; bergab Rückgewinnung (Rekuperation)
Temperatur: Batterieleistung und Heizung im Winter
Nebenverbraucher: Kühlaggregat, Ladebordwand

Beim Diesel spielt das für die Planung kaum eine Rolle (Tank reicht). Beim E-Lkw kann es über die Zulässigkeit einer Tour entscheiden.

Letzte Meile

Warum die letzten Kilometer so teuer sind

Merkmale

viele Stopps mit kleinen Sendungen → keine Bündelung
Parkplatzsuche, Halten in zweiter Reihe, Fußwege
Zeitfenster und Nicht-Antreffen (Zweitzustellung)
Zufahrtsbeschränkungen, Umweltzonen, Fußgängerzonen
hoher Personalkostenanteil → Kosten in € pro Stopp bzw. € pro Sendung

Neue Optionen

Lastenrad mit Mikrodepot (Container, Ladenfläche)
E-Transporter (emissionsfrei und mautbefreit)

Paketstationen und Abholpunkte
autonome Drohnen und Lieferroboter

Letzte Meile

Mikrodepots mit Lastenrädern und autonome Fahrzeuge

alternative Zustellfahrzeuge

benötigen ein Mikrodepot zum Umschlag
2-stufiges Problem: Depot → Mikrodepot → Kunde
meist Steuerung über Infrastrukturzugang
Kosten meist höher als bei 1-stufiger Letzten Meile → Ausnahme: Personalkosteneisparung bei autonomen Fahrzeugen

Option	Kapazität	Geschwindigkeit	Reichweite	Wichtigste Restriktion	Planungsmodell
Lastenrad	100–250 kg	bis 25 km/h, Radwege	~40–80 km	Kapazität, Wetter, Mikrodepot nötig	2E-VRP
Drohne	2–5 kg	schnell, luftlinienartig	~10–40 km	Genehmigung, Wetter, Gewicht	TSP-D / FSTSP
Lieferroboter	~20–50 kg	Schritttempo	wenige km	Gehwegrecht, Treppen, Vandalismus	Roboter-VRP

Transportkostensätze

Grundlagen der Fahrzeugkostenrechnung

Fixe (nutzungsunabhängige) Kosten pro Jahr

Abschreibung (AfA): $\dfrac{A - RW}{N}$
kalkulatorische Zinsen: $\dfrac{A + RW}{2} \cdot i$
Versicherung, Kfz-Steuer
anteilige Gemeinkosten (Disposition, Verwaltung, Infrastruktur)

Variable (wegabhängige) Kosten pro km

Energie: Verbrauch × Preis (Diesel bzw. Strom)
Wartung und Reparatur
Reifen
AdBlue, Schmierstoffe
Maut: Mautsatz × Anteil mautpflichtiger Strecke

Variable (zeitabhängige) Kosten pro Stunde

Fahrerpersonal (Lohn + Nebenkosten)

Kostensätze

\[k_{km} = \frac{K_{fix}}{L_{Jahr}} + k_{var} \qquad\qquad k_{h} = \frac{K_{Personal}}{T_{Jahr}} \qquad\qquad k_{tkm} = \frac{k_{km}}{m \cdot \alpha \cdot (1 - \lambda)}\] mit Jahresfahrleistung $L$, produktiven Stunden $T$, Nutzlast $m$ (t), Auslastung $\alpha$ und Leerfahrtanteil $\lambda$.

Beispiel 1 – Diesel-Kühl-Lkw

Kostensätze für den 7,5-Tonner von SushiFresh

Sushi-Fresh-Distribution ab Raunheim

Sushi-Fresh beliefert von Raunheim aus alle Filialen durch Pendeltouren. Insgesamt sind pro Arbeits-Tag damit 204 km zu fahren. Dazu wird ein 7,5-t-Kühltransporter an 300 Arbeits-Tagen eingesetzt.

Kalkulationsposition	Wert
Anschaffung A / Restwert RW / Nutzung N	95.000 € / 15.000 € / 6 J.
Abschreibung (A − RW)/N	13.333 €
Kalk. Zinsen (A + RW)/2 · 5 %	2.750 €
Versicherung + Kfz-Steuer	5.000 €
Gemeinkosten (Fahrzeuganteil)	6.000 €
Fixkosten Fahrzeug pro Jahr	27.083 €
Diesel 17 l/100 km × 2,00 €/l	0,340 €/km
Wartung + Reifen	0,120 €/km
Maut 15,1 ct/km × 50 %	0,075 €/km
Variable Kosten pro km	0,536 €/km

Kostensätze (Pendelverkehr, 61.326 km/Jahr)

Fahrzeug fix: 90,28 €/Tag bzw. 0,442 €/km
Fahrzeug gesamt: 0,977 €/km
Fahrer: 52.000 € / 1650 h = 31,52 €/h

Zweigliedriger Kostensatz

Für die Tourenplanung ist die Trennung in €/km (Fahrzeug, variabel) und €/h (Fahrer + fixe Fahrzeugkosten je Einsatzstunde) üblich, denn Touren unterscheiden sich in Strecke und Dauer.

Beispiel 1 – Diesel-Kühl-Lkw

Was kostet eine Box? Nachrechnen des Satzes aus Einheit Standortplanung II

Sushi-Fresh-Distribution ab Raunheim

Die ersten Einschätzungen gehen davon aus, dass der 7,5-t-Kühltransporter die Pendeltouren mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 45 km/h zurücklegt. Die Beladung in Raunheim dauert jedes Mal 15 Minuten, die Entladung in jeder Filiale 15 Minuten.

Variante	km/Tag	h/Tag	Fahrzeug fix (€)	Fahrzeug var. (€)	Fahrer (€)	Gesamt (€/Tag)	€/Box
Pendelverkehr	204	7,5	90,28	109,47	237,71	437,45	0,518

Kostensatz je Box und km

Im Pendelverkehr legen alle Boxen zusammen $\sum_j \mu_j \cdot d_{Rj} =$ 12.835 beladene Box-km zurück (Rückfahrt leer): \[\frac{437{,}45\ \text{€}}{12.835\ \text{Box-km}} \approx 0{,}034\ \text{€}/(\text{Box} \cdot \text{km})\] Das liegt über der Annahme von 0,02 €/(Box·km) aus Einheit Standortplanung II. Woher könnte die Differenz stammen?

Beispiel 2 – Diesel oder E-Lkw?

Jahreskosten des E-LKW

Sushi-Fresh-Distribution ab Raunheim mit E-LKW

Als Alternative zum Diesel 7,5-t-Diesel-Lkw erwägt Sushi-Fresh einen 7,5-t-E-LKW einzusetzen. Das entsprechende Modell verbraucht 66 kWh/100 km (Jahresmittel inkl. Kühlung). Der E-LKW soll über Nacht im Depot zu 0,24 €/kWh geladen werden. Der Depot-Ladepunkt schlägt mit 3.500 €/Jahr zu buche.

Kalkulationsposition	Wert
Anschaffung A / Restwert RW / Nutzung N	170.000 € / 30.000 € / 6
Abschreibung (A − RW)/N	23.333 €
Kalk. Zinsen (A + RW)/2 · 5 %	5.000 €
Versicherung + Kfz-Steuer	5.000 €
Gemeinkosten (inkl. Ladepunkt)	9.500 €
Fixkosten Fahrzeug pro Jahr	42.833 €
Energiekosten	0,158 €/km
Wartung + Reifen	0,090 €/km
Maut	0,000 €/km
Variable Kosten pro km	0,248 €/km

Beispiel 2 – Diesel oder E-Lkw?

Break-even-Fahrleistung

Interpretation

E-Lkw: hohe Fixkosten, niedrige variable Kosten → lohnen sich bei hoher Fahrleistung
Break-even bei ca. 55 Tsd. km/Jahr
bei der aktuellen Fahrleistung (61,3 Tsd. km/Jahr) lohnt sich der E-Lkw
Unsicherheit bestehen durch:
- Reichweite
- Mischkalkulation bei externen Laden
- Lebensdauer und Wartungskosten (Batteriedegradation)
weitere mögliche Kostenkompoente: Opportunitätskosten der entgangenen Stromeinspeisevergütung

CO₂-Bilanzierung von Transporten

Warum und nach welchem Standard?

Anlass

Transporte sind für die meisten Unternehmen Scope-3-Emissionen (außer z.B. Logistikunternehmen und Selbsterbringung)
Händler fragen oft Emissionen je Sendung bei ihren Lieferanten ab
Vergleich von Alternativen: Verkehrsträger, Antriebe, Touren
Logistikdienstleister müssen ihren Kunden vergleichbare Werte liefern

ISO 14083:2023

Internationale Norm zur Quantifizierung und Berichterstattung von Treibhausgasemissionen aus Transportketten (ISO 2023):

alle Verkehrsträger und Umschlagpunkte (Hubs)
Personen- und Güterverkehr
Well-to-Wheel: Betrieb und Energiebereitstellung
löst die europäische Norm EN 16258 ab
Branchenleitfaden mit Default-Werten: GLEC Framework (Smart Freight Centre 2023)

Kernidee: Emissionen werden für Gruppen gleichartiger Transporte ermittelt und anschließend über die Transportleistung (tkm) fair auf einzelne Sendungen verteilt.

ISO 14083

Zentrale Begriffe

Begriff	Bedeutung
Transportkette	alle Abschnitte einer Sendung vom Versender bis zum Empfänger
Transportkettenelement (TCE)	ein Abschnitt: eine Fahrt mit einem Verkehrsmittel oder ein Umschlag
Transport-Vorgangskategorie (TOC)	Gruppe gleichartiger Transporte (z. B. alle Filialtouren des Kühl-Lkw)
Hub-Vorgangskategorie (HOC)	Gruppe gleichartiger Umschlagvorgänge (z. B. Kühllager, Cross-Dock)
Well-to-Tank (WTT)	Emissionen der Energiebereitstellung (Förderung, Raffinerie, Kraftwerk)
Tank-to-Wheel (TTW)	Emissionen im Fahrzeug (Verbrennung)
Well-to-Wheel (WTW)	WTT + TTW, verpflichtend auszuweisen
Transportaktivität	Masse × Allokations-Distanz (tkm), Allokations-Distanz = kürzeste realisierbare Entfernung (SFD), Luftverkehr: Großkreisdistanz (GCD)

Transportkette kombinierter Verkehr

Für die Allokation der Emissionen wird die kürzeste realisierbare Distanz (SFD) vom Versandort zum Zielort verwendet. Diese Allokations-Distanzen sind unabhängig von der tatsächlich gefahrenen Tour. Die Emissionen der tatsächlich gefahrenen Tour (inkl. Leerfahrten) werden durch den Energieverbrauch der TOC berücksichtigt.

ISO 14083

Berechnung in fünf Schritten

Vorgehen

Transportkette in Transport- und Hub-Elemente zerlegen
Elemente zu TOC bzw. HOC gruppieren
Energieverbrauch je TOC/HOC bestimmen (Primärdaten bevorzugt: getankte Liter, geladene kWh; sonst Modell- oder Default-Werte)
Emissionen = Energie × Emissionsfaktor (WTT und TTW getrennt)
Emissionsintensität je TOC (g CO₂e/tkm) und Zuordnung auf die Sendung: Intensität × Sendungs-tkm, danach Summe über alle Elemente der Kette

Formeln

\[E_{\text{TOC}} = \sum_k V_k \cdot f_k^{\text{WTW}} \qquad\quad \varepsilon_{\text{TOC}} = \frac{E_{\text{TOC}}}{\sum_s m_s \cdot d_s^{\text{SFD}}}\] \[E_s = \varepsilon_{\text{TOC}} \cdot m_s \cdot d_s^{\text{SFD}}\] Energiemenge $V_k$ je Energieträger $k$, Emissionsfaktor $f_k$, Sendungsmasse $m_s$

Emissionsfaktoren

Diesel TTW ≈ 2,65 kg CO₂/l, WTW ≈ 3,2 kg CO₂e/l

Strom (Netz DE) ≈ 0,38 kg CO₂e/kWh inkl. Vorkette (Umweltbundesamt 2025)

Fallstudie – CO₂ der Filialbelieferung

Emissionen je Box nach ISO 14083: Pendelverkehr oder Rundtour?

Pendelverkehr: 204 km/Tag

Diesel-Lkw: 34,8 l Diesel $\rightarrow$ 111,2 kg CO$_2$e
E-Lkw: 148,4 kWh Strom $\rightarrow$ 56,4 kg CO$_2$e

			g CO₂e je Box		kg CO₂e je Filiale/Tag
Standort	Boxen	Distanz (km)	Diesel	E-Lkw	Diesel	E-Lkw
Wiesbaden	120	24	209	106	25,0	12,7
Mainz	150	14	118	60	17,7	9,0
Frankfurt	280	9	74	37	20,7	10,5
Rüsselsheim	90	27	237	120	21,3	10,8
Darmstadt	110	22	194	98	21,3	10,8
Offenbach	95	6	55	28	5,2	2,6
Ø je Box	845		132	67
Gesamt		204 km/Tag			111,2	56,4

Rundtour (eine Tour durch alle Filialen; wie man sie bestimmt, zeigt die Einheit Tourenplanung): 153 km/Tag

Diesel-Lkw: 26,0 l Diesel $\rightarrow$ 83,2 kg CO$_2$e
E-Lkw: 111,1 kWh Strom $\rightarrow$ 42,2 kg CO$_2$e

			g CO₂e je Box		kg CO₂e je Filiale/Tag
Standort	Boxen	Distanz (km)	Diesel	E-Lkw	Diesel	E-Lkw
Wiesbaden	120	24	156	79	18,7	9,5
Mainz	150	14	88	45	13,2	6,7
Frankfurt	280	9	55	28	15,5	7,8
Rüsselsheim	90	27	177	90	15,9	8,1
Darmstadt	110	22	145	74	16,0	8,1
Offenbach	95	6	41	21	3,9	2,0
Ø je Box	845		98	50
Gesamt		153 km/Tag			83,2	42,2

Energiebedarf E-Lkw: 66 kWh/100 km + 10 % Ladeverluste

Kernaussagen

Das Wichtigste in Kürze

Verkehrsträger unterscheiden sich in Kosten, Geschwindigkeit, Netzdichte, Kapazität und Klimabilanz. Der kombinierte Verkehr lohnt sich ab einer Break-even-Entfernung.
Alternative Antriebe verändern die Planung: Batterieelektrische Lkw bringen Reichweiten-, Lade- und Gewichtsrestriktionen, die in E-VRP-Modellen abgebildet werden.
Mit dem E-Kühl-Lkw ist der heutige Pendelverkehr von SushiFresh nicht fahrbar. Ob eine Rundtour passt, wird zur Machbarkeitsfrage der anschließenden Tourenplanung.
Lastenrad, Mikrodepot und Drohne führen zu zweistufigen bzw. synchronisierten Planungsproblemen. Auf der letzten Meile zählt € pro Stopp.
Fremdvergabe wandelt Fixkosten in variable Kosten und lohnt sich bei geringer Auslastung. Dieselfloater teilen das Preisrisiko.
ISO 14083 bilanziert Emissionen Well-to-Wheel je Transportkategorie und verteilt sie über tkm (kürzeste realisierbare Distanz) auf Sendungen. Im Fallbeispiel spart die Rundtour rund 25 % der Emissionen, der E-Lkw rund 49 %.
Transportkostensätze entstehen aus Fixkosten (AfA, Zinsen, Versicherung, Personal) und variablen Kosten (Energie, Wartung, Maut). Fahrleistung, Auslastung und Leerfahrten bestimmen, was ein km, eine Stunde oder ein tkm kostet.

Übung

Übungsaufgaben zu dieser Einheit

Aufgaben zur Klausurvorbereitung (Teil 1) und eine vertiefende Fallstudie (Teil 2) finden Sie in Fallstudie 8: Transportmittel, Antriebe und Transportkosten.

operative Distributionsplanung

Distributionsplanung

Kürzeste Wege
Tourenplanung

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

Straßennetze als Graphen mit Knoten, Kanten und Kantengewichten modellieren,
verschiedene Varianten des Kürzeste-Wege-Problems unterscheiden,
den Dijkstra-Algorithmus von Hand durchführen und in R implementieren,
aus kürzesten Wegen eine Distanzmatrix für Transport- und Tourenplanung ableiten.

Literatur zur Vertiefung

Kürzeste Wege und Graphentheorie in der Logistik: (Domschke 2007).
Originalarbeit zum Algorithmus: (Dijkstra 1959).
Transport- und Tourenplanung im Überblick: (Günther and Tempelmeier 2012).

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Woher kommen eigentlich die Transportkosten?

Rückblick

In der Standort- und der Transportplanung waren die Transportkosten $c_{ij}$ vorgegeben. Aus der Einheit Verkehrsmittel und Antriebe kennen wir Kostensätze je km. Es fehlen die Entfernungen: $c_{ij}$ = Kostensatz × Entfernung. Im Januar endet das Weihnachtsgeschäft: Die Zentralküche Raunheim beliefert wieder alle sechs Filialen allein.

Auftrag der Disposition

Die neue Disponentin möchte die Kostensätze selbst nachvollziehen. Dafür braucht sie die Straßenentfernungen

von Raunheim zu jeder Filiale und
zwischen allen Filialen (für die Tourenplanung in Einheit Tourenplanung).

Erste Idee: Luftlinie (Haversine, Einheit Standortplanung I)

ID	Filiale	Luftlinie ab Raunheim (km)
C1	Wiesbaden	18,3
C2	Mainz	13,9
C3	Frankfurt	19,8
C4	Rüsselsheim	4,0
C5	Darmstadt	19,4
C6	Offenbach	24,6

Lkw fahren nicht Luftlinie: Rhein- und Mainbrücken, Autobahnkreuze und Ortsdurchfahrten bestimmen die tatsächliche Strecke.

Straßennetz als Graph

Modellierung

Graph $G = (V, E)$

Knoten $V$: Orte (Küche, Filialen) und Verknüpfungspunkte (Autobahnkreuze)
Kanten $E$: direkte Straßenverbindungen
Kantengewicht $c_{vw} \geq 0$: Länge, Fahrzeit oder Kosten
ungerichtet, wenn beide Richtungen gleich lang sind; sonst gerichtet (Einbahnstraßen, Auffahrten)

Weg von $s$ nach $t$: Folge benachbarter Knoten; Länge = Summe der Kantengewichte

Das SushiFresh-Netz hat 10 Knoten und 16 Kanten (vereinfacht).

Kürzeste-Wege-Probleme

Problemvarianten

Variante	Frage	Verfahren	Beispiel
1 → 1	Kürzester Weg von s nach t	Dijkstra (mit Abbruch), A*	Navigationssystem
1 → alle	Kürzeste Wege von s zu allen Knoten	Dijkstra, Bellman-Ford	Kostensätze ab Zentralküche
alle → alle	Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren	Floyd-Warshall oder n × Dijkstra	Distanzmatrix für die Tourenplanung

Als Netzwerkflussproblem

Ein Kürzeste-Wege-Problem ist ein Transportproblem auf einem Netz: Eine Einheit fließt von $s$ nach $t$.

\[\min \sum_{(v,w) \in E} c_{vw} \, x_{vw}\] \[\sum_{w} x_{vw} - \sum_{w} x_{wv} = \begin{cases} 1 & v = s \\ -1 & v = t \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}\] \[x_{vw} \geq 0\]

Mit spezialisierten Algorithmen geht es aber deutlich schneller als mit einem LP-Solver.

Dijkstra-Algorithmus

Idee

Idee (Dijkstra 1959): Breite dich vom Startknoten $s$ wie eine Welle aus. Jeder Knoten $v$ trägt eine Marke $d(v)$ (bisher kürzeste bekannte Entfernung) und einen Vorgänger $p(v)$. In jedem Schritt wird der nächstgelegene noch offene Knoten endgültig („permanent“) markiert.

Zwei Arten von Marken

temporär: vorläufiger Wert, kann noch verbessert werden
permanent: endgültig kürzeste Entfernung

Warum ist der kleinste temporäre Wert endgültig? Jeder andere Weg müsste über einen Knoten mit größerer Marke laufen und kann wegen $c_{vw} \geq 0$ nicht kürzer werden.

Kernoperation: Markenkorrektur

Für jeden Nachbarn $w$ des neu permanenten Knotens $v$: \[d(w) \leftarrow \min\big(d(w),\; d(v) + c_{vw}\big)\] Verbessert sich $d(w)$, wird $p(w) \leftarrow v$ gesetzt.

Voraussetzung: keine negativen Kantengewichte.

Dijkstra-Algorithmus

Algorithmus

Initialisierung: $d(s) = 0$, $d(v) = \infty$ für alle $v \neq s$; alle Marken temporär; $p(v) = \text{–}$

Wiederhole, bis alle Knoten permanent sind:

Wähle den temporär markierten Knoten $v$ mit kleinstem $d(v)$.
Markiere $v$ permanent.
Für jeden temporär markierten Nachbarn $w$ von $v$:
- falls $d(v) + c_{vw} < d(w)$: setze $d(w) = d(v) + c_{vw}$ und $p(w) = v$

Ergebnis: $d(v)$ = kürzeste Entfernung von $s$ nach $v$; der Weg ergibt sich durch Rückverfolgung der Vorgänger $p(v)$.

Aufwand

$n$ Iterationen, je Iteration Minimumsuche über $n$ Knoten → $\mathcal{O}(n^2)$
mit Prioritätswarteschlange (Heap) → $\mathcal{O}(|E| + n \log n)$
Ein Navigationssystem durchsucht so Millionen Knoten in Millisekunden (mit Beschleunigungen wie A*).

Notation im Fallbeispiel

Marke „$d$ | $p$“, z. B. „15 | MH“ = 15 km, Vorgänger Mönchhof-Dreieck

Dijkstra-Algorithmus

Fallbeispiel – Iteration 1: Start in Raunheim

Schritt

R hat die kleinste Marke (0) → permanent
Nachbarn erhalten erste Marken:
- MH: $0 + 5 = 5$
- C4: $0 + 6 = 6$
- C3: $0 + 33 = 33$ (Bundesstraße direkt nach Frankfurt)

Legende

● permanent
● temporär markiert
○ in dieser Iteration verbessert
graue Knoten: noch $d = \infty$

Dijkstra-Algorithmus

Fallbeispiel – Iteration 3: Rüsselsheim

Schritt

Iteration 2: MH (5) wurde permanent → WK = 18, FK = 15
Iteration 3: kleinste temporäre Marke ist C4 (6) → permanent
Nachbarn von C4:
- C2: $6 + 16 = 22$ → neu
- C5: $6 + 33 = 39$ → neu
- MH ist bereits permanent → keine Prüfung

Die Marke von C4 bleibt 6: Der Umweg über MH ($5 + 10 = 15$) war nie besser.

Dijkstra-Algorithmus

Fallbeispiel – Iteration 4: Markenkorrektur in Frankfurt

Schritt

FK (15) wird permanent
Nachbarn von FK:
- C3: $15 + 13 = 28 < 33$ → Korrektur! neue Marke 28, Vorgänger FK
- C6: $15 + 12 = 27$ → neu
- C5: $15 + 29 = 44 > 39$ → keine Änderung

Der direkte Weg nach Frankfurt (33 km) wird durch den Weg über die Autobahn (28 km) ersetzt. Temporäre Marken sind eben nur vorläufig.

Dijkstra-Algorithmus

Fallbeispiel – Tableau aller Iterationen

It.	perm.	R	MH	WK	FK	C1	C2	C3	C4	C5	C6
1	R	0	5 \| R	∞	∞	∞	∞	33 \| R	6 \| R	∞	∞
2	MH		5	18 \| MH	15 \| MH	∞	∞	33 \| R	6 \| R	∞	∞
3	C4			18 \| MH	15 \| MH	∞	22 \| C4	33 \| R	6	39 \| C4	∞
4	FK			18 \| MH	15	∞	22 \| C4	28 \| FK		39 \| C4	27 \| FK
5	WK			18		26 \| WK	22 \| C4	28 \| FK		39 \| C4	27 \| FK
6	C2					26 \| WK	22	28 \| FK		39 \| C4	27 \| FK
7	C1					26		28 \| FK		39 \| C4	27 \| FK
8	C6							28 \| FK		39 \| C4	27
9	C3							28		39 \| C4
10	C5									39

Zellen: „$d$ | $p$“ (temporäre Marke), grün = wird in dieser Iteration permanent, rot = in dieser Iteration verbessert, leer = bereits permanent.

Nach 10 Iterationen sind alle Knoten permanent. Die Reihenfolge entspricht aufsteigenden Entfernungen.

Dijkstra-Algorithmus

Ergebnis: Kürzeste-Wege-Baum ab Raunheim

Filiale	Kürzester Weg	km	Luftlinie	Umweg-faktor
C1	R → MH → WK → C1	26	18,3	1,42
C2	R → C4 → C2	22	13,9	1,59
C3	R → MH → FK → C3	28	19,8	1,41
C4	R → C4	6	4,0	1,51
C5	R → C4 → C5	39	19,4	2,01
C6	R → MH → FK → C6	27	24,6	1,10

Die Vorgänger bilden einen Baum (grün): Von jedem Knoten führt genau ein kürzester Weg zurück nach Raunheim. Der mittlere Umwegfaktor liegt bei 1,51. Typische Werte in Deutschland liegen bei 1,2–1,4.

Dijkstra-Algorithmus

Implementierung in R

# W: Gewichtsmatrix (0 = keine Kante)
dijkstra <- function(W, start) {
  ids  <- rownames(W)
  d    <- setNames(rep(Inf, nrow(W)), ids)
  pred <- setNames(rep(NA, nrow(W)), ids)
  perm <- setNames(rep(FALSE, nrow(W)), ids)
  d[start] <- 0
  while (!all(perm)) {
    # 1. kleinste temporäre Marke
    v <- names(which.min(ifelse(perm, Inf, d)))
    # 2. permanent markieren
    perm[v] <- TRUE
    # 3. Markenkorrektur der Nachbarn
    for (w in ids[W[v, ] > 0 & !perm]) {
      if (d[v] + W[v, w] < d[w]) {
        d[w]    <- d[v] + W[v, w]
        pred[w] <- v
      }
    }
  }
  list(d = d, pred = pred)
}

res <- dijkstra(sp_W, start = "R")
res$d[c("C1", "C2", "C3",
        "C4", "C5", "C6")]

C1 C2 C3 C4 C5 C6 
26 22 28  6 39 27

Alternative mit Paketen

igraph::distances(g, weights = ...) oder osrm::osrmTable() für echte Straßendaten (Einheit Standortplanung II).

Distanzmatrix für die Tourenplanung

Alle Paare: $n$-mal Dijkstra

	nach (km)
von	R	C1	C2	C3	C4	C5	C6
R	0	26	22	28	6	39	27
C1	26	0	14	44	30	60	43
C2	22	14	0	49	16	49	48
C3	28	44	49	0	33	34	10
C4	6	30	16	33	0	33	32
C5	39	60	49	34	33	0	24
C6	27	43	48	10	32	24	0

stops <- c("R", paste0("C", 1:6))
D <- t(sapply(stops, function(s)
  dijkstra(sp_W, s)$d[stops]))

Eigenschaften der Distanzmatrix

symmetrisch (ungerichtetes Netz)
erfüllt die Dreiecksungleichung $d_{ik} \leq d_{ij} + d_{jk}$, denn jede Direktverbindung ist bereits ein kürzester Weg
enthält nur noch die relevanten Orte, die Autobahnknoten sind „herausgerechnet“

Ausblick auf Einheit Tourenplanung

Fährt der Kühltransporter jede Filiale einzeln an (Pendelverkehr), legt er täglich $2 \cdot \sum_j d_{Rj} =$ 296 km zurück, 45 % mehr als mit den geschätzten Distanzen der Standortplanung II (204 km, Einheit Verkehrsmittel und Antriebe). Geht das mit einer Rundtour kürzer?

Kürzeste Wege in der Praxis

Varianten und Erweiterungen

Weitere Algorithmen

Bellman-Ford: erlaubt negative Kantengewichte (z. B. Rückfrachten mit Erlös), $\mathcal{O}(n \cdot |E|)$
Floyd-Warshall: alle Paare auf einmal, $\mathcal{O}(n^3)$
A*: Dijkstra mit Schätzung der Restentfernung (z. B. Luftlinie) → durchsucht viel weniger Knoten

Was ist „kurz“?

Distanz (km): Kraftstoff, Verschleiß
Fahrzeit: Personal, Frische der Ware, Lieferfenster
Kosten: Maut, Fahrzeugkosten
zeitabhängig: Berufsverkehr auf der A3 um 7 Uhr ≠ um 4 Uhr

Je nach Zielgröße ergeben sich unterschiedliche kürzeste Wege.

Kernaussagen

Das Wichtigste in Kürze

Straßennetze werden als Graphen modelliert. Transportkosten $c_{ij}$ ergeben sich aus kürzesten Wegen im Netz, nicht aus der Luftlinie.
Der Dijkstra-Algorithmus markiert schrittweise den nächstgelegenen offenen Knoten permanent und korrigiert die Marken seiner Nachbarn. Voraussetzung: nichtnegative Gewichte.
Temporäre Marken können sich noch verbessern (SushiFresh: Frankfurt von 33 auf 28 km).
Mehrfaches Anwenden liefert eine symmetrische, metrische Distanzmatrix, die Grundlage der Tourenplanung.

Übung

Übungsaufgaben zu dieser Einheit

Aufgaben zur Klausurvorbereitung (Teil 1) und eine vertiefende Fallstudie (Teil 2) finden Sie in Fallstudie 9: Kürzeste Wege.

operative Distributionsplanung - Tourenplanung

Operative Distributionsplanung

Kürzeste Wege
Tourenplanung

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

das Traveling Salesman Problem (TSP) als Grundproblem der Tourenplanung beschreiben und formulieren,
die Komplexität des TSP einschätzen und den Einsatz von Heuristiken begründen,
Touren mit dem Nearest-Neighbor-Verfahren konstruieren und mit 2-opt verbessern,
heuristische Lösungen im Vergleich zur Optimallösung bewerten und Erweiterungen zum Vehicle Routing Problem einordnen.

Literatur zur Vertiefung

Rundreise- und Tourenplanung: (Domschke and Scholl 2010).
TSP – Geschichte, Modelle, exakte Verfahren: (Applegate et al. 2006).
Vehicle Routing Problems: (Toth and Vigo 2014).

Fallstudie – SushiFresh GmbH

Pendelverkehr oder Rundtour?

Ausgangslage

Im Normalbetrieb liefert ein Kühltransporter (Kapazität 900 Boxen) jeden Morgen 845 Boxen aus Raunheim an die sechs Filialen. Der Fahrer fährt bisher jede Filiale einzeln an und kehrt danach zur Küche zurück (Pendelverkehr).

Täglich gefahrene Strecke: $2 \cdot \sum_j d_{Rj} =$ 296 km (Straßennetz; Schätzung aus der Standortplanung II: 204 km)

Idee

Da alle Boxen auf einmal in den Transporter passen, kann er die Filialen in einer Rundtour nacheinander anfahren.

Frage: In welcher Reihenfolge ist die Tour am kürzesten?

Die Distanzen $d_{ij}$ stammen aus der Distanzmatrix von Einheit Kürzeste Wege (kürzeste Wege im Straßennetz).

Traveling Salesman Problem

Problembeschreibung

Problemstellung

Gegeben sind $n$ Orte (ein Depot und $n-1$ Kunden) und die Entfernungen $d_{ij}$ zwischen allen Paaren. Gesucht ist eine Rundreise, die jeden Ort genau einmal besucht, zum Ausgangspunkt zurückkehrt und minimale Gesamtlänge hat.

Begriffe

Tour (Hamiltonkreis): Reihenfolge $(v_1, v_2, \ldots, v_n, v_1)$
symmetrisches TSP: $d_{ij} = d_{ji}$ (SushiFresh)
asymmetrisches TSP: $d_{ij} \neq d_{ji}$ (Einbahnstraßen, Stadtverkehr)
metrisches TSP: Dreiecksungleichung gilt, z. B. bei Distanzen aus kürzesten Wegen

Abgrenzung

Kürzeste Wege: Wie komme ich von $i$ nach $j$?
TSP: In welcher Reihenfolge besuche ich alle Orte?

Distanzmatrix $d_{ij}$ (km) aus Einheit Kürzeste Wege

von	R	C1	C2	C3	C4	C5	C6
R	0	26	22	28	6	39	27
C1	26	0	14	44	30	60	43
C2	22	14	0	49	16	49	48
C3	28	44	49	0	33	34	10
C4	6	30	16	33	0	33	32
C5	39	60	49	34	33	0	24
C6	27	43	48	10	32	24	0

Traveling Salesman Problem

Mathematisches Modell

Binäres Optimierungsmodell (Dantzig et al. 1954)

$x_{ij} = 1$, falls direkt von $i$ nach $j$ gefahren wird

\[\min \rightarrow \sum_{i} \sum_{j \neq i} d_{ij} \cdot x_{ij}\]

Nebenbedingungen \[ \begin{align} \sum_{j \neq i} x_{ij} &= 1 && \forall i \\ \sum_{i \neq j} x_{ij} &= 1 && \forall j \\ \sum_{i \in S} \sum_{j \in S} x_{ij} &\leq |S| - 1 && \forall S \subset V,\ 2 \leq |S| < n \\ x_{ij} &\in \{0,1\} && \forall i \neq j \end{align} \]

Zeilen 1–2: jeden Ort genau einmal verlassen und erreichen. Zeile 3: keine Kurzzyklen.

Ohne die dritte Bedingung wären zwei getrennte Kreise zulässig: Jeder Ort hat genau einen Vorgänger und Nachfolger, aber die Filialen C3, C5, C6 sind nicht mit der Küche verbunden.

Traveling Salesman Problem

Warum nicht einfach alle Touren ausprobieren?

Orte n	Touren (n−1)!/2	Rechenzeit bei 10⁹ Touren/s
5	12	< 1 Sekunde
7	360	< 1 Sekunde
10	181.440	< 1 Sekunde
15	4,4 · 10¹⁰	44 Sekunden
20	6,1 · 10¹⁶	1,9 Jahre
30	4,4 · 10³⁰	1,4 · 10¹⁴ Jahre
50	3,0 · 10⁶²	9,6 · 10⁴⁵ Jahre

Kombinatorische Explosion

Das TSP ist NP-schwer: Es ist kein Verfahren bekannt, das jede Instanz in polynomieller Zeit optimal löst. Für SushiFresh ($n = 7$) gibt es nur 360 verschiedene Touren, ein Paketdienst mit 150 Stopps pro Fahrzeug hat dagegen unvorstellbar viele.

Lösungsansätze

Eröffnungsverfahren konstruieren eine Tour: Nearest Neighbor, Einfügeverfahren, Savings
Verbesserungsverfahren verändern eine Tour lokal: 2-opt, Or-opt, 3-opt
Metaheuristiken (z. B. Simulated Annealing) und exakte Verfahren (Branch-and-Cut) für anspruchsvolle Fälle

Nearest-Neighbor-Verfahren

Idee und Algorithmus

Idee: Fahre vom aktuellen Ort immer zum nächstgelegenen noch nicht besuchten Ort. Sind alle besucht, kehre zum Depot zurück.

Algorithmus

Initialisierung: Tour $T = (v_1)$ mit Startort (Depot) $v_1$

Wiederhole, bis alle Orte in $T$ enthalten sind:

Sei $v$ der letzte Ort in $T$.
Wähle $w^* = \arg\min_{w \notin T} d_{vw}$.
Hänge $w^*$ an $T$ an.

Abschluss: Kante vom letzten Ort zurück zu $v_1$

Eigenschaften

sehr einfach und schnell: $\mathcal{O}(n^2)$
entspricht der Intuition vieler Fahrer
greedy: Jede Entscheidung ist lokal gut, aber sie berücksichtigt nicht, was danach kommt

Typische Schwäche

Die letzten Orte liegen oft verstreut. Am Ende werden lange Wege und der Rückweg zum Depot „erzwungen“.

Nearest-Neighbor-Verfahren

Fallbeispiel – Start in Raunheim

#	von	offene Orte: d (km)	nach	km	Σ km
1	R	C4: 6, C2: 22, C1: 26, C6: 27, C3: 28, C5: 39	C4	6	6
2	C4	C2: 16, C1: 30, C6: 32, C3: 33, C5: 33	C2	16	22
3	C2	C1: 14, C6: 48, C3: 49, C5: 49	C1	14	36
4	C1	C6: 43, C3: 44, C5: 60	C6	43	79
5	C6	C3: 10, C5: 24	C3	10	89
6	C3	C5: 34	C5	34	123
7	C5	Rückkehr zum Depot	R	39	162

NN-Tour: R → C4 → C2 → C1 → C6 → C3 → C5 → R mit 162 km, gegenüber 296 km im Pendelverkehr.

Nearest-Neighbor-Verfahren

Kritische Würdigung

Was ist schiefgelaufen?

In Schritt 4 springt die Tour von Wiesbaden quer durch das Gebiet nach Offenbach (43 km), weil Offenbach 1 km näher liegt als Frankfurt.
Danach geht es zurück nach Frankfurt und wieder nach Süden nach Darmstadt.
Die Tour kreuzt sich selbst, und der Rückweg von Darmstadt (39 km) ist lang.

Merkregel

In einer optimalen Tour eines euklidischen TSP gibt es keine Kreuzungen. Kreuzungen sind ein deutliches Zeichen für Verbesserungspotenzial.

NN-Tourlänge je nach Startort

Start	Tour (ab Depot gelesen)	km
R	R → C4 → C2 → C1 → C6 → C3 → C5 → R	162
C1	R → C6 → C3 → C5 → C1 → C2 → C4 → R	167
C2	R → C4 → C6 → C3 → C5 → C2 → C1 → R	171
C3	R → C2 → C1 → C3 → C6 → C5 → C4 → R	153
C4	R → C2 → C1 → C6 → C3 → C5 → C4 → R	162
C5	R → C4 → C2 → C1 → C5 → C6 → C3 → R	158
C6	R → C4 → C2 → C1 → C5 → C6 → C3 → R	158

Eine einfache Verbesserung: NN von jedem Startort aus rechnen und die beste Tour wählen.

2-opt-Verfahren

Idee: zwei Kanten austauschen (Croes 1958)

Idee: Entferne zwei nicht benachbarte Kanten $(a,b)$ und $(c,d)$ aus der Tour und verbinde die Teilstücke neu über $(a,c)$ und $(b,d)$. Das Teilstück zwischen $b$ und $c$ wird dabei in umgekehrter Richtung durchlaufen.

Ersparnis eines 2-opt-Zugs

\[\Delta = \underbrace{d_{ab} + d_{cd}}_{\text{entfernt}} - \underbrace{d_{ac} + d_{bd}}_{\text{hinzugefügt}}\] Der Zug lohnt sich, wenn $\Delta > 0$.

Bei $n$ Orten gibt es $n(n-3)/2$ mögliche 2-opt-Züge, bei SushiFresh also 14.

2-opt-Verfahren

Algorithmus

Initialisierung: Starttour $T = (v_1, \ldots, v_n)$, z. B. aus Nearest Neighbor

Wiederhole:

Berechne für alle Paare nicht benachbarter Kanten $(v_i, v_{i+1})$ und $(v_k, v_{k+1})$ die Ersparnis \[\Delta_{ik} = d_{v_i v_{i+1}} + d_{v_k v_{k+1}} - d_{v_i v_k} - d_{v_{i+1} v_{k+1}}\]
Wähle das Paar mit dem größten $\Delta_{ik}$ (best improvement).
Falls $\Delta_{ik} > 0$: kehre die Reihenfolge $v_{i+1}, \ldots, v_k$ um.
Sonst: Abbruch, $T$ ist 2-optimal.

Varianten

first improvement: den ersten verbessernden Zug sofort ausführen (schneller pro Iteration)
Or-opt: verschiebt Teilstücke aus 1–3 Orten an eine andere Stelle
3-opt: tauscht drei Kanten (mächtiger, aber $\mathcal{O}(n^3)$ je Durchlauf)

Lokales Optimum

Eine 2-optimale Tour lässt sich durch keinen einzelnen 2-opt-Zug verbessern. Sie muss aber nicht global optimal sein.

2-opt-Verfahren

Fallbeispiel – alle Züge für die NN-Tour

entfernte Kanten	neue Kanten	alt	neu	Δ
(C1,C6) (C3,C5)	(C1,C3) (C6,C5)	77	68	9
(C4,C2) (C5,R)	(C4,C5) (C2,R)	55	55	0
(C6,C3) (C5,R)	(C6,C5) (C3,R)	49	52	-3
(C1,C6) (C5,R)	(C1,C5) (C6,R)	82	87	-5
(R,C4) (C1,C6)	(R,C1) (C4,C6)	49	58	-9
(C4,C2) (C1,C6)	(C4,C1) (C2,C6)	59	78	-19
(R,C4) (C3,C5)	(R,C3) (C4,C5)	40	61	-21
(C2,C1) (C5,R)	(C2,C5) (C1,R)	53	75	-22
(R,C4) (C2,C1)	(R,C2) (C4,C1)	20	52	-32
(C4,C2) (C3,C5)	(C4,C3) (C2,C5)	50	82	-32
(R,C4) (C6,C3)	(R,C6) (C4,C3)	16	60	-44
(C4,C2) (C6,C3)	(C4,C6) (C2,C3)	26	81	-55
(C2,C1) (C3,C5)	(C2,C3) (C1,C5)	48	109	-61
(C2,C1) (C6,C3)	(C2,C6) (C1,C3)	24	92	-68

Einziger verbessernder Zug

Entferne (C1, C6) und (C3, C5), füge (C1, C3) und (C6, C5) ein:

\[\Delta = (43 + 34) - (44 + 24) = 9\ \text{km}\]

Das Teilstück C6 → C3 wird umgedreht zu C3 → C6.

Neue Tour: R → C4 → C2 → C1 → C3 → C6 → C5 → R mit 153 km

2-opt-Verfahren

Fallbeispiel – vorher und nachher

Nearest Neighbor: 162 km

nach 2-opt: 153 km

Die Kreuzung ist aufgelöst. Danach findet 2-opt keinen weiteren verbessernden Zug: Die Tour ist 2-optimal.

Wie gut ist die Lösung?

Vergleich mit der Optimallösung

Ergebnis

Optimale Tour (Enumeration aller 360 Touren): R → C1 → C2 → C4 → C5 → C6 → C3 → R mit 151 km
NN + 2-opt liegt 1,3 % über dem Optimum, NN allein 7,3 %.

Grenze von 2-opt

Die optimale Tour unterscheidet sich von der 2-opt-Lösung in drei Kanten. Dafür ist ein 3-opt-Zug nötig, jeder einzelne 2-opt-Zug verlängert die Tour. 2-opt bleibt im lokalen Optimum stecken.

Gegenüber dem Pendelverkehr spart die Tour täglich 143 km. Was das in Euro und für den E-Kühl-Lkw bedeutet, zeigen die nächsten beiden Folien.

Was bringt die Rundtour?

Bewertung mit den Kostensätzen aus der Einheit Verkehrsmittel und Antriebe

Variante	km/Tag	Stunden/Tag	Kosten/Tag	€ je Box
Pendelverkehr	296	9,6	550,8 €	0,652 €
Nearest Neighbor	162	5,3	345,7 €	0,409 €
NN + 2-opt	153	5,2	334,6 €	0,396 €

Fahrzeugfixkosten 90,3 €/Tag, 0,536 €/km, Fahrer 31,5 €/h; Ø 45 km/h, 15 min je Filiale, 15 min je Beladung in Raunheim.

Ergebnis

Die optimierte Rundtour senkt die Kosten je Box um 39 %, das sind rund 64.863 € pro Jahr. Gespart werden Kilometer und Fahrerstunden, weil nur einmal beladen wird.

Der lineare Satz von 0,02 €/(Box·km) aus der Standortplanung unterstellt Pendelverkehr. Bündelungseffekte der Tour kann er nicht abbilden.

Reichweite als Nebenbedingung

Klappt die Tour mit dem E-Kühl-Lkw?

Tour	km	Sommer (0,62 kWh/km)	Winter (0,70 kWh/km)
Pendelverkehr	296	184 kWh ✗	207 kWh ✗
Nearest Neighbor	162	100 kWh ✓	113 kWh ✗
NN + 2-opt	153	95 kWh ✓	107 kWh ✓
Optimum	151	94 kWh ✓	106 kWh ✓

Nutzbare Energie je Tour: $Q =$ 110 kWh (vgl. Einheit Verkehrsmittel und Antriebe).

Ergebnis

Pendelverkehr: unmöglich
Nearest Neighbor: im Sommer ja, im Winter nicht
2-opt und Optimum: ganzjährig fahrbar, mit knappem Puffer

Lehre

Beim E-Lkw entscheidet die Qualität der Tourenplanung über die Machbarkeit, nicht nur über die Kosten. Modelle mit Energie-Nebenbedingung heißen E-VRP (Schneider et al. 2014).

TSP-Heuristiken in R

Implementierung

nearest_neighbor <- function(D, start = 1) {
  tour <- start
  while (length(tour) < nrow(D)) {
    offen  <- setdiff(seq_len(nrow(D)), tour)
    letzte <- tail(tour, 1)
    naechster <- offen[which.min(D[letzte, offen])]
    tour <- c(tour, naechster)
  }
  rownames(D)[tour]
}

tour_length <- function(tour, D)
  sum(D[cbind(tour, c(tour[-1], tour[1]))])

two_opt <- function(tour, D) {
  n <- length(tour)
  repeat {
    best <- 0
    for (i in 1:(n - 1)) for (k in (i + 1):n) {
      a <- tour[i]; b <- tour[i + 1]
      c <- tour[k]; d <- tour[k %% n + 1]
      if (b == c || a == d) next
      delta <- D[a, b] + D[c, d] - D[a, c] - D[b, d]
      if (delta > best) {
        best <- delta; bi <- i; bk <- k
      }
    }
    if (best <= 0) break   # 2-optimal
    tour <- c(tour[1:bi], rev(tour[(bi + 1):bk]),
              if (bk < n) tour[(bk + 1):n])
  }
  tour
}

TSP exakt lösen

MTZ-Formulierung mit ompr

library(ompr); library(ompr.roi)
library(ROI.plugin.glpk)
n <- nrow(D)

tsp_model <- MIPModel() |>
  add_variable(x[i, j], i = 1:n, j = 1:n,
               type = "binary") |>
  add_variable(u[i], i = 1:n, lb = 1, ub = n) |>
  set_objective(sum_expr(D[i, j] * x[i, j],
                i = 1:n, j = 1:n), "min") |>
  add_constraint(x[i, i] == 0, i = 1:n) |>
  add_constraint(sum_expr(x[i, j], j = 1:n) == 1,
                 i = 1:n) |>
  add_constraint(sum_expr(x[i, j], i = 1:n) == 1,
                 j = 1:n) |>
  # MTZ: Reihenfolgevariablen verhindern Kurzzyklen
  add_constraint(u[i] - u[j] + 1 <= (n - 1) * (1 - x[i, j]),
                 i = 2:n, j = 2:n, i != j)

tsp_sol <- solve_model(tsp_model,
                       with_ROI(solver = "glpk"))

MTZ-Bedingungen (Miller et al. 1960)

Statt exponentiell vieler Kurzzyklus-Bedingungen erhält jeder Kunde eine Position $u_i$ in der Tour. Fährt man von $i$ nach $j$, muss $u_j \geq u_i + 1$ gelten. Ein Kreis ohne Depot ist damit unmöglich.

Ergebnis: R → C1 → C2 → C4 → C5 → C6 → C3 → R mit 151 km, identisch zur Enumeration.

Die MTZ-Formulierung ist einfach, aber schwach. Für große Instanzen werden Spezialverfahren eingesetzt (z. B. der Concorde-Solver).

Ausblick: Tourenplanung

Vom TSP zum Vehicle Routing Problem

Neue Flotte

Der 900-Boxen-Transporter wird durch zwei Kühlvans à 500 Boxen ersetzt (Führerscheinklasse B, leichter zu besetzen). Die Tagesmenge von 845 Boxen passt nicht mehr in ein Fahrzeug.

Capacitated VRP (CVRP): Teile die Kunden so auf mehrere Touren auf, dass die Kapazität eingehalten wird und die Gesamtstrecke minimal ist. Das TSP ist der Spezialfall mit einem Fahrzeug ohne Kapazitätsgrenze.

Savings-Verfahren (Clarke and Wright 1964)

Start: jede Filiale in einer eigenen Pendeltour. Verbinde schrittweise Touren mit der größten Ersparnis $s_{ij} = d_{Ri} + d_{Rj} - d_{ij}$, solange die Kapazität reicht und $i$, $j$ Tourenden sind.

Tour West: R → C1 → C2 → C4 → R: 62 km, 360 Boxen
Tour Ost: R → C3 → C6 → C5 → R: 101 km, 485 Boxen
Gesamt 163 km statt 151 km mit einem Fahrzeug

Weitere Erweiterungen: Zeitfenster (Anlieferung vor 8 Uhr), maximale Tourdauer (Kühlkette, Lenkzeiten), heterogene Flotte, mehrere Depots

Kernaussagen

Das Wichtigste in Kürze

Das TSP sucht die kürzeste Rundreise durch alle Orte. Es ist NP-schwer: Die Zahl der Touren wächst mit $(n-1)!/2$.
Nearest Neighbor konstruiert schnell eine Tour, neigt aber zu langen Sprüngen am Ende und zu Kreuzungen (SushiFresh: 162 km).
2-opt tauscht Kantenpaare, solange sich die Tour verkürzt, und entfernt dabei Kreuzungen (SushiFresh: 153 km).
Das Ergebnis ist ein lokales Optimum. Das globale Optimum (151 km) erfordert hier einen 3-opt-Zug oder ein exaktes Verfahren.
Gegenüber dem Pendelverkehr (296 km) halbiert die Rundtour die Fahrstrecke nahezu.

Übung

Übungsaufgaben zu dieser Einheit

Aufgaben zur Klausurvorbereitung (Teil 1) und eine vertiefende Fallstudie (Teil 2) finden Sie in Fallstudie 10: Tourenplanung.

Merkmal	Add	Drop
Start	\(S = \emptyset\)	\(S = I\)
Richtung	aufbauend	abbauend
Startkosten	\(\infty\) (kein Lager)	\(\sum_i f_i + \ldots\)
Laufzeit	\(\mathcal{O}(\|I\|^2 \cdot \|J\|)\)	\(\mathcal{O}(\|I\|^2 \cdot \|J\|)\)
Tendenz	wenige Lager	mehr Lager

Szenario	Phänomen	Folge
\(d > C\)	Überlastung	Lost Sales, Umsatzverlust
\(d < C\)	Unterauslastung	Leerkosten
\(d \approx C\)	Gleichgewicht	bei perfekter Prognose

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^2B
1	78	102	78	12	90
2	79	92	79	2	90
3	92	93	90	0	90
4	76	87	76	0	87
5	95	80	90	0	80
6	104	97	90	0	90
7	87	90	87	0	90
8	92	76	90	0	76
9	91	89	90	0	89
10	85	86	85	0	86
11	96	89	90	0	89
12	93	93	90	0	90

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^Ma,Ma	x_t^Ma,Wi
1	78	102	78	12	90	0
2	79	92	79	2	90	0
3	92	93	90	0	90	0
4	76	87	76	0	87	0
5	95	80	90	0	80	5
6	104	97	90	0	90	0
7	87	90	87	0	90	0
8	92	76	90	0	76	2
9	91	89	90	0	89	1
10	85	86	85	0	86	0
11	96	89	90	0	89	1
12	93	93	90	0	90	0

Konfiguration	Sicherheitsbestand
Dezentral (2 Lager)	\(z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)\)
Zentral (\(\rho = -1\))	\(z_\alpha \cdot \\|\sigma_1 - \sigma_2\\|\)
Zentral (\(\rho = 0\))	\(z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\)
Zentral (\(\rho = +1\))	\(z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)\)

\(\rho\)	\(sb_{zen}\)	Einsparung
\(-0.8\)	29.7	67.2 %
\(\;\;\;0\)	64.2	29 %
\(+0.8\)	85.9	5.1 %
\((+1)\)	90.5	0 %

Wertebereich	Wahrscheinlichkeit
\(\mu \pm 1\sigma\)	≈ 68,3 %
\(\mu \pm 2\sigma\)	≈ 95,4 %
\(\mu \pm 3\sigma\)	≈ 99,7 %

Größe	Bedeutung	Wert
Verkaufspreis \(p\)	Erlös je verkaufter Sushi-Box	10 EUR
Herstell- und Lieferkosten \(c\)	Kosten je vorbereiteter Sushi-Box	5 EUR
Restwert \(v\)	Erlös bei Abendrabatt bzw. Verwertung	2 EUR

Hebel	Maßnahme	Wirkung auf Bestände und Varianz
Informationsfluss	Point-of-Sale-Daten teilen	\(\sigma\) der Prognosefehler sinkt
Planung	Gemeinsame Prognosen und CPFR	Lokale Prognoseverzerrungen sinken
Bestellpolitik	Kleine, häufige Bestellungen	Auftragsbündelung sinkt
Lieferzeit	Informations- und Lieferzeiten verkürzen	Risikozeitraum sinkt
Preise	Stabile Preise statt Vorratsanreize	Künstliche Bedarfsspitzen sinken
Allokation	Rationierung nach historischen Mengen	Strategische Überbestellung sinkt
Steuerung	Gesamtoptimum statt lokaler Zielgrößen	Bestell- und Bestandsentscheidungen werden koordiniert

	nach (km)
von	R	C1	C2	C3	C4	C5	C6
R	0	26	22	28	6	39	27
C1	26	0	14	44	30	60	43
C2	22	14	0	49	16	49	48
C3	28	44	49	0	33	34	10
C4	6	30	16	33	0	33	32
C5	39	60	49	34	33	0	24
C6	27	43	48	10	32	24	0

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^2B
1	78	102	78	12	90
2	79	92	79	2	90
3	92	93	90	0	90
4	76	87	76	0	87
5	95	80	90	0	80
6	104	97	90	0	90
7	87	90	87	0	90
8	92	76	90	0	76
9	91	89	90	0	89
10	85	86	85	0	86
11	96	89	90	0	89
12	93	93	90	0	90

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^Ma,Ma	x_t^Ma,Wi
1	78	102	78	12	90	0
2	79	92	79	2	90	0
3	92	93	90	0	90	0
4	76	87	76	0	87	0
5	95	80	90	0	80	5
6	104	97	90	0	90	0
7	87	90	87	0	90	0
8	92	76	90	0	76	2
9	91	89	90	0	89	1
10	85	86	85	0	86	0
11	96	89	90	0	89	1
12	93	93	90	0	90	0

	nach (km)
von	R	C1	C2	C3	C4	C5	C6
R	0	26	22	28	6	39	27
C1	26	0	14	44	30	60	43
C2	22	14	0	49	16	49	48
C3	28	44	49	0	33	34	10
C4	6	30	16	33	0	33	32
C5	39	60	49	34	33	0	24
C6	27	43	48	10	32	24	0

von	R	C1	C2	C3	C4	C5	C6
R	0	26	22	28	6	39	27
C1	26	0	14	44	30	60	43
C2	22	14	0	49	16	49	48
C3	28	44	49	0	33	34	10
C4	6	30	16	33	0	33	32
C5	39	60	49	34	33	0	24
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Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^2B
1	78	102	78	12	90
2	79	92	79	2	90
3	92	93	90	0	90
4	76	87	76	0	87
5	95	80	90	0	80
6	104	97	90	0	90
7	87	90	87	0	90
8	92	76	90	0	76
9	91	89	90	0	89
10	85	86	85	0	86
11	96	89	90	0	89
12	93	93	90	0	90

Monat	d_t^Wi	d_t^Ma	x_t^Wi,Wi	x_t^Wi,Ma	x_t^Ma,Ma	x_t^Ma,Wi
1	78	102	78	12	90	0
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3	92	93	90	0	90	0
4	76	87	76	0	87	0
5	95	80	90	0	80	5
6	104	97	90	0	90	0
7	87	90	87	0	90	0
8	92	76	90	0	76	2
9	91	89	90	0	89	1
10	85	86	85	0	86	0
11	96	89	90	0	89	1
12	93	93	90	0	90	0

	nach (km)
von	R	C1	C2	C3	C4	C5	C6
R	0	26	22	28	6	39	27
C1	26	0	14	44	30	60	43
C2	22	14	0	49	16	49	48
C3	28	44	49	0	33	34	10
C4	6	30	16	33	0	33	32
C5	39	60	49	34	33	0	24
C6	27	43	48	10	32	24	0

von	R	C1	C2	C3	C4	C5	C6
R	0	26	22	28	6	39	27
C1	26	0	14	44	30	60	43
C2	22	14	0	49	16	49	48
C3	28	44	49	0	33	34	10
C4	6	30	16	33	0	33	32
C5	39	60	49	34	33	0	24
C6	27	43	48	10	32	24	0