Das Newsvendor-Modell
Kapitel 9 · Supply Chain Management & Distribution
Prof. Dr. Thomas Kirschstein
Unsicherheits- und Risikomanagement in SCs - Newsvendor-Modell
Unsicherheit in Supply Chains
- Pooling
- Newsvendor-Modell
- Bullwhip-Effekt
Lernziele
Nach dieser Einheit können Sie …
- das Newsvendor-Problem als einmalige Bestellentscheidung bei unsicherer Nachfrage einordnen,
- Über- und Unterdeckungskosten bestimmen,
- die kritische Fraktilregel herleiten und interpretieren,
- eine optimale Bestellmenge bei gegebener Nachfrageverteilung berechnen,
- den Einfluss zentraler Modellparameter auf die Bestellentscheidung erklären.
Literatur zur Vertiefung
- Einführung Newsvendor: (Thonemann 2023, Kapitel 5).
- Einperiodige Bestandsmodelle und Critical-Fractile-Logik: (Cachon and Terwiesch 2024, Kapitel 13).
- Newsvendor-Modelle im Kontext des Inventory Managements: (Silver et al. 2017, Kapitel 9).
Fallbeispiel
Sushi-Boxen im Supermarkt
Ein Supermarkt bezieht täglich frisch produzierte Sushi-Boxen von der SushiFresh GmbH, einem regionalen Sushi-Hersteller im Rhein-Main-Gebiet.
- Die Boxen werden morgens vorbereitet und vor Ladenöffnung geliefert.
- Die Nachfrage ist bis zum Abend unsicher. Nachlieferungen tagsüber sind ausgeschlossen.
- Nicht verkaufte Sushi-Boxen dürfen am Folgetag nicht mehr regulär verkauft werden.
Entscheidungsfrage: Wie viele Sushi-Boxen sollte der Lieferant vorbereiten?
Fallbeispiel
Kosten- und Erlösstruktur
Für eine Sushi-Box gelten die folgenden, vereinfachten Werte:
| Größe | Bedeutung | Wert |
|---|---|---|
| Verkaufspreis \(p\) | Erlös je verkaufter Sushi-Box | 10 EUR |
| Herstell- und Lieferkosten \(c\) | Kosten je vorbereiteter Sushi-Box | 5 EUR |
| Restwert \(v\) | Erlös bei Abendrabatt bzw. Verwertung | 2 EUR |
typischerweise gilt allgemein: \(p > c > v\)
\(\rightarrow\) Deckungsbeitrag pro verkaufte Sushi-Box: \(c^u=p-c = 10-5=5\) €
\(\rightarrow\) Verwertungsverlust pro nicht verkaufte Sushi-Box: \(c^o=c-v=5-2=3\) €
Fallbeispiel
Zwei möglische Situation aus Sicht des Lieferanten
Zu viele Boxen:
- weniger Nachfrage \(D\) als produzierte Sushi-Boxen \(q\) \(\rightarrow\) Überbestand \(q-D\)
- verkaufte Menge: \(\min(D,q) = D\)
- Deckungsbeitrag aus Verkauf: \(D \cdot c^u\)
- zusätzliche Kosten der Verwertung: \((q-D) \cdot c^o\)
Gesamtdeckungsbeitrag: \(P(D,q)= D \cdot c^u - (q - D) \cdot c^o\)
Zu wenige Boxen:
- mehr Nachfrage \(D\) als produzierte Sushi-Boxen \(q\) \(\rightarrow\) Fehlmenge \(D-q\)
- verkaufte Menge: \(\min(D,q) = q\)
- gesamter Deckungsbeitrag: \(q \cdot c^u\)
- Opportunitätskosten aus entgangenem Deckungsbeitrag: \((D-q) \cdot c^u\)
Gesamtdeckungsbeitrag: \(P(D,q) = q \cdot c^u\)
Fallbeispiel
Mögliche Nachfrage & Produktionsmenge
Als vereinfachtes Miniaturbeispiel (z. B. für eine kleine Filiale oder einen Testverkauf) schätzt SushiFresh aus Verkaufshistorie, Wochentag, Wetterprognose und aktuellen Aktionen zunächst vier mögliche Nachfrageszenarien:
| Nachfrage \(D\) | Wahrscheinlichkeit \(P(D=d)\) | Kumulierte Wahrscheinlichkeit \(F(d)\) |
|---|---|---|
| 30 Sushi-Boxen | 0,20 | 0,20 |
| 40 Sushi-Boxen | 0,35 | 0,55 |
| 50 Sushi-Boxen | 0,30 | 0,85 |
| 60 Sushi-Boxen | 0,15 | 1,00 |
Welche Menge sollte der Lieferant morgens vorbereiten: 30, 40, 50 oder 60 Sushi-Boxen?
Fallbeispiel
Erwartetes Ergebnis
Setze \(q=40\) Sushi-Boxen
| Nachfrage \(D\) | Wahrsch. \(P(D=d)\) | Überbestand \(q-D\) | Fehlmenge \(q-D\) | Deckungs-beitrag \(P\) |
|---|---|---|---|---|
| 30 Sushi-Boxen | 0,20 | 10 | 0 | 120 € |
| 40 Sushi-Boxen | 0,35 | 0 | 0 | 200 € |
| 50 Sushi-Boxen | 0,30 | 0 | 10 | 200 € |
| 60 Sushi-Boxen | 0,15 | 0 | 20 | 200 € |
erwarteter Gesamtdeckungsbeitrag: \(\begin{align} E(P|q=40)= & 0.2 \cdot 120 + 0.35 \cdot 200 + \\ & 0.30 \cdot 200 + 0.15 \cdot 200= 184 \end{align}\)
\(E(P|q)\) für alle \(q\)
\(\rightarrow\) maximaler erwarteter Deckungsbeitrag bei \(q=50\) mit 190 € pro Tag
Newsvendormodell
Herleitung der Zielfunktion
Überdeckung \(q > D\)
\[P(D,q) = D \cdot c^u - (q-D)^+\cdot c^o\]
\[\Downarrow\]
Unterdeckung \(q < D\)
\[P(D,q) = q \cdot c^u\]
\[\Downarrow\]
\[\begin{align} P(D,q) =& \min(D,q) \cdot c^u - (q-D)^+ \cdot c^o \\ = & (D-(D-q)^+) \cdot c^u - (q-D)^+ \cdot c^o \\ = & \underset{\text{Deckungsbeitrag}}{D \cdot c^u} - \underset{\text{ Fehlmengenkosten}}{(D-q)^+ \cdot c^u} - \underset{\text{Überbestandskosten}}{(q-D)^+ \cdot c^o} \end{align} \] wobei \((q-D)^+ = \max(0,q-D)\), \((D-q)^+ = \max(0,D-q)\) und \(\min(D,q) = D - (D-q)^+\)
Newsvendor-Modell
Formales Modell
Problembeschreibung
Suche die Bestellmenge \(q\), die den erwarteten Profit maximiert oder die erwarteten Kosten minimiert: \[ \underset{q}{\max} E(P(q)) = \mu \cdot c^u - E((D-q)^+) \cdot c^u - E((q-D)^+) \cdot c^o \; \Leftrightarrow \; \underset{q}{\min} E(C(q)) = E((D-q)^+) \cdot c^u + E((q-D)^+) \cdot c^o \] \(\rightarrow\) minimiere das gewichtete Mittel aus erwarteter Fehlmenge \(E((D-q)^+)\) und erwartetem Überbestand \(E((q-D)^+)\)
Diskrete Nachfrage (vgl. vorige Folie)
Kontinuierliche Nachfrage (Filiale Frankfurt) \(D \sim N(280,55^2)\)
Newsvendor-Modell
Formale Lösung
Die optimale Bestellmenge \(q^*\) ist, wo die Anstiege der erwarteten Fehlmengenkosten \(E((D-q)^+) \cdot c^u\) und der Überbestandskosten \(E((q-D)^+)\cdot c^o\) gleich sind: \[ \left(1 - F(q^*)\right) \cdot c^u \overset{!}{=} F(q^*) \cdot c^o \quad \Longrightarrow \quad q^* = F^{-1} \left( \frac{c^u}{c^o + c^u} \right)\]
Diskrete Nachfrage (Verteilungsparameter vgl. vorige Folie) mit \(c^u = 5\) und \(c^o=3\)
Kontinuierliche Nachfrage (Filiale Frankfurt) \(D \sim N(280,55^2)\) mit \(c^u = 5\) und \(c^o=3\)
Newsvendor-Modell
Kritisches Verhältnis
kritisches Verhältnis (critical ratio)
Die optimale Bestellmenge ist das Nachfragequantil, dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit dem Verhältnis von Fehlmengen- zu Gesamtkosten entspricht. Das kritische Verhältnis entscheidet also über die Risikobereitschaft
\[ CR = \frac{c^u}{c^o + c^u}\]
Fall 1: \(c^u < c^o\)
- Fehlmengenkosten sind kleiner als Überbestandskosten
- Überbestände sollten vermieden werden
- \(\rightarrow\) opt. Bestellmenge \(q^*\) kleiner als Median der Nachfrageverteilung
Fall 2: \(c^u = c^o\)
- Fehlmengenkosten = Überbestandskosten
- Fehlmengen und Überbestände gleich bedeutend
- \(\rightarrow\) opt. Bestellmenge \(q^*\) gleicht dem Median der Nachfrageverteilung
Fall 3: \(c^u > c^o\)
- Fehlmengenkosten sind größer als Überbestandskosten
- Fehlmengen sollten vermieden werden
- \(\rightarrow\) opt. Bestellmenge \(q^*\) größer als Median der Nachfrageverteilung
Newsvendor-Modell
Optimale Lösung bei Normalverteilung
Normalverteilte Nachfrage
Im Falle normalverteilter Nachfrage mit \(D \sim (\mu,\sigma^2)\) kann die optimale Bestellmenge durch Transformation zur Standardnormalverteilung berechnet werden. Für optimale Bestellmenge und Kosten gilt \[z^* = \Phi^{-1} \left( \frac{c^u}{c^o + c^u} \right) \qquad q^*=\mu + \sigma \cdot z^* \qquad E(C(q^*))=(c^u+c^o)\cdot \sigma \cdot \varphi\left( z^* \right) \]
Fallbeispiel Filiale Frankfurt mit \(N(280,55^2)\)
Fall 1: \(c^u=1 < 5=c^o\)
\(q^* = 280 + 55 \cdot\) -0.97=226.8
Fall 2: \(c^u = 3 = c^o\)
\(q^* = 280 + 55 \cdot\) 0=280
Fall 3: \(c^u=5 > 1=c^o\)
\(q^* = 280 + 55 \cdot\) 0.97=333.2
Newsvendor-Modell
Typische Anwendungen
Voraussetzungen
Das Newsvendor wird besonders häufig verwendet, wenn keine Bedarfsglättung durch Lagerhaltung möglich ist und die Fehlmengenkosten gut bestimmbar sind
Typische Anwendungsbereich sind z.B. bei
- Saison- und Aktionsartikel
- Frischwaren mit kurzer Haltbarkeit
- Tickets für Veranstaltungen oder Verkehrsmittel
- …
Important
Darüber hinaus ist es die Basis für die Berechnung kostenoptimaler Sicherheitsbestände in Lagerhaltungssystemen.
Cachon, Gérard, and Christian Terwiesch. 2024. Matching Supply with Demand: An Introduction to Operations Management. 5th ed. McGraw Hill.
Silver, Edward A., David F. Pyke, and Douglas J. Thomas. 2017. Inventory and Production Management in Supply Chains. 4th ed. CRC Press.
Thonemann, Ulrich W. 2023. Operations Management. 4th ed. Pearson.
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