Unsicherheit in Supply Chains: Pooling

Kapitel 8 · Supply Chain Management & Distribution

Prof. Dr. Thomas Kirschstein

Unsicherheits- und Risikomanagement in Supply Chains

Unsicherheit in Supply Chains

  • Pooling
  • Newsvendor-Modell
  • Bullwhip-Effekt

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie …

  • Quellen und Auswirkungen von Unsicherheit in Supply Chains erläutern,
  • Nachfrageunsicherheit, implizierte Unsicherheit und Reaktionsfähigkeit voneinander abgrenzen,
  • den Effekt von Risikopooling auf Nachfragevarianz und Sicherheitsbestände analysieren,
  • zentrale und dezentrale Bestandsstrukturen unter Unsicherheit vergleichen und beurteilen.

Literatur zur Vertiefung

Die Natur der Unsicherheit

Implizierte Unsicherheit in Supply Chains (Chopra and Meindl 2025)

Implizierte Unsicherheit (implied uncertainty) bezeichnet die Unsicherheit, mit der eine Supply Chain umgehen muss — bestimmt durch die Kombination aus Nachfrageunsicherheit und den Serviceanforderungen des Marktes (Chopra and Meindl 2025, Kap. 2).

Zwei Quellen implizierter Unsicherheit

Dimension Niedrig Hoch
Nachfrageunsicherheit Salz, Strom Fashion, Elektronik
Liefervariabilität Beton, Kohle Halbleiter, Fischfang

\(\rightarrow\) Hohe implizierte Unsicherheit erfordert reaktionsfähige (responsive) Supply Chains mit Pufferkapazität.

Das Grunddilemma

  • Nachfrage ist variabel und schwer vorhersagbar
  • Kapazitäten (Werke, Lager, Personal) werden im Voraus festgelegt
  • \(\rightarrow\) Mismatch zwischen Angebot und Nachfrage ist strukturell unvermeidlich

Die Natur der Unsicherheit

Mismatch: Schwankende Nachfrage vs. fixe Kapazität

Kapazitäten (Maschinen, Personal, Lagerraum) werden ex ante bestimmt. Die Nachfrage realisiert sich ex post. Das Ergebnis: systematischer Mismatch in beide Richtungen.

Konsequenzen des Mismatches

Szenario Phänomen Folge
\(d > C\) Überlastung Lost Sales, Umsatzverlust
\(d < C\) Unterauslastung Leerkosten
\(d \approx C\) Gleichgewicht bei perfekter Prognose

Praxisbeispiele

  • Automobilindustrie: Werke produzieren nur bestimmte Modelle für mehrere Jahre \(\rightarrow\) Auslastung hängt von Nachfrage ab
  • Einzelhandel: Saisonware (Weihnachtsartikel) wird zu früh bestellt, Reste werden verramscht
  • Krankenhaus: OP-Kapazitäten sind täglich fix, Notfallaufkommen ist hochvariabel

Umgang mit Unsicherheit

Kapazitätspooling

Ausgangssituation (Struktur nach Cachon & Terwiesch, Kap. 17)

In der Gründungsphase betrieb SushiFresh zunächst nur 2 Pilotküchen für 2 Pilotstandorte (die heutigen Filialen Wiesbaden und Mainz). Jede Küche ist genau ihrem eigenen Standort zugeordnet – keine Flexibilität. Die Kapazität je Küche beträgt 90 Boxen/Tag. Die Nachfrage ist unsicher und wird beobachtet, nachdem die Kapazitäten festgelegt wurden.

Konsequenzen der Inflexibilität

  • Übersteigt die Nachfrage die Kapazität \(\rightarrow\) Fehlmenge (Lost Sales)
  • Liegt die Nachfrage unter der Kapazität \(\rightarrow\) Leerkapazität (Idle Capacity)
  • Beide Effekte reduzieren die Systemperformance

Kapazitätspooling

Originalkonfiguration – Jede Küche beliefert nur ihre zugewiesene Filiale

Monatliche Nachfrage und Produktion, Pilotphase (\(C^{Wi} = C^{Ma} = 90\))

Monat dtWi dtMa xtWi xtMa
1 78 102.0 78.00 90.00
2 79 92.0 79.00 90.00
3 92 93.0 90.00 90.00
4 76 87.0 76.00 87.00
5 95 80.0 90.00 80.00
6 104 97.0 90.00 90.00
7 87 90.0 87.00 90.00
8 92 76.0 90.00 76.00
9 91 89.0 90.00 89.00
10 85 86.0 85.00 86.00
11 96 89.0 90.00 89.00
12 93 93.0 90.00 90.00
⌀ 89 89.5 86.25 87.25

System Evaluation

  • Erwartete Nachfrage: \(E(d^{Wi})=\) 89; \(E(d^{Ma})=\) 89.5
  • Erwartete Produktion: \(E(x^{Wi})=\) 86.2; \(E(x^{Ma})=\) 87.2
  • Auslastung Standorte: \(\frac{E(x^{Wi})}{C^{Wi}}=\) 95.8 %; \(\frac{E(x^{Ma})}{C^2}=\) 96.9 %
  • Erwarteter Lieferservicegrad: \(\frac{E(x^{Wi})}{E(d^{Wi})}=\) 97.2 %; \(\frac{E(x^{Ma})}{E(d^{Ma})}=\) 97.7 %

Problem

Auslastung und Lieferservicegrad sind hoch, dennoch gibt es lost sales und Unterauslastung \(\rightarrow\) Kann gegenseitiges Aushelfen (Kapazitätspooling) die Kennzahlen verbessern?

Kapazitätspooling

Einseitiges Pooling – Küche Wiesbaden kann beide Standorte beliefern

Monat dtWi dtMa xtWi,Wi xtWi,Ma xt2B
1 78 102 78 12 90
2 79 92 79 2 90
3 92 93 90 0 90
4 76 87 76 0 87
5 95 80 90 0 80
6 104 97 90 0 90
7 87 90 87 0 90
8 92 76 90 0 76
9 91 89 90 0 89
10 85 86 85 0 86
11 96 89 90 0 89
12 93 93 90 0 90

Pooling-Regel (wenn \(d_t^{Ma} > C^{Ma}\) und \(d_t^{Wi} < C^{Wi}\)):

\[x_t^1 = d_t^{Wi} + \min(C^{Wi} - d_t^{Wi};\; d_t^{Ma} - C^{Ma})\] \[x_t^{Ma,Ma} = C^{Ma}\]

System Evaluation (Pooling)

  • Produktion Werk 1: \(E(x^{Wi})=\) 87.4
  • Versorgung Markt B: \(E(x^{Wi,Ma}+x^{Ma,Ma})=\) 88.4
  • Auslastung Werk 1: \(\frac{E(x^{Wi})}{C^{Wi}}=\) 97.1 %
  • Lieferservicegrad Markt B: \(\frac{E(x^{Wi,Ma}+x^{Ma,Ma})}{E(d^{Ma})}=\) 98.8 %

Kapazitätspooling

Zweiseitiges Pooling – Beide Küchen können beide Standorte beliefern

Monat dtWi dtMa xtWi,Wi xtWi,Ma xtMa,Ma xtMa,Wi
1 78 102 78 12 90 0
2 79 92 79 2 90 0
3 92 93 90 0 90 0
4 76 87 76 0 87 0
5 95 80 90 0 80 5
6 104 97 90 0 90 0
7 87 90 87 0 90 0
8 92 76 90 0 76 2
9 91 89 90 0 89 1
10 85 86 85 0 86 0
11 96 89 90 0 89 1
12 93 93 90 0 90 0

System Evaluation

  • Produktion Wiesbaden: \(E(x^{Wi})=\) 87.4
  • Produktion Mainz: \(E(x^{Ma})=\) 88
  • Versorgung Wiesbaden: \(E(x^{Wi, Wi}+x^{Ma, Wi})=\) 87
  • Versorgung Mainz: \(E(x^{Wi,Ma}+x^{Ma, Ma})=\) 88.4
  • Auslastung Wiesbaden: \(\frac{E(x^{Wi})}{C^{Wi}}=\) 97.1 %
  • Auslastung Werk 2: \(\frac{E(x^{Ma})}{C^{Ma}}=\) 97.8 %
  • Lieferservicegrad Wiesbaden: \(\frac{E(x^{Wi,Wi}+x^{Ma,Wi})}{E(d^{Wi})}=\) 97.8 %
  • Lieferservicegrad Mainz: \(\frac{E(x^{Ma,Ma}+x^{Wi,Ma})}{E(d^{Ma})}=\) 98.8 %

Versorgungssystem reagiert als wäre die Trennung zwischen Märkten/Produkten und Werken aufgehoben \(\rightarrow\) Gesamtkapazität und Gesamtnachfrage entscheidend

Kapazitätspooling

Kennzahlenvergleich

Kennzahl Dezentral Pooling einseitig Pooling zweiseitig
Ø Produktion Wiesbaden (Einh.) 86.2 87.4 87.4
Ø Produktion Mainz (Einh.) 87.2 87.2 88.0
Ø Verkäufe Wiesbaden (Einh.) 86.2 86.2 87.0
Ø Verkäufe Mainz (Einh.) 87.2 88.4 88.4
Lost Sales Wiesbaden (Einh.) 33.0 33.0 24.0
Lost Sales Mainz (Einh.) 27.0 13.0 13.0
Auslastung Wiesbaden (%) 95.8 95.8 96.7
Auslastung Mainz (%) 96.9 98.2 98.2
Verkaufsquote Wiesbaden (%) 96.9 96.9 97.8
Verkaufsquote Mainz (%) 97.5 98.8 98.8

Nutzen des Kapazitätspooling

Kapazitätspooling verbessert alle Servicekennzahlen gleichzeitig: mehr Verkäufe, höhere Auslastung, weniger Leerkapazität – ohne zusätzliche Produktionskapazität.

Kosten des Kapazitätspooling

Kapazitätspooling benötigt jedoch zusätzliche logistische Kapazitäten und vor allem technologische Flexibilität

Kapazitätspooling

Chaining

Chaining

Kapazitätspooling ermöglicht die gemeinsame Nutzung von Kapazitäten für verschiedene Märkte. Es erfordert jedoch technologische und logistische Flexibilität. Je mehr Märkte und Produkte zu bedienen sind, desto komplexer und kostspieliger ist Kapazitätspooling. Die Frage ist also, wie Kapazitätspooling bei mehreren Produkten und Märkten organisiert werden kann?

vollständiges Chaining

Verbindungen: \(n \cdot n = 16\)

Technologien je Werk: \(n=4\)

Märkte je Werk: \(n=4\)

Kurzes Chaining

Verbindungen: \(2 \cdot n = 8\)

Technologien je Werk: \(n=2\)

Märkte je Werk: \(n=2\)

Langes Chaining

Verbindungen: \(2 \cdot n = 8\)

Technologien je Werk: \(n=2\)

Märkte je Werk: \(n=4\)

Umgang mit Unsicherheit

Pooling über die Zeit - Sicherheitsbestände

Definition Sicherheitsbestand (Wiederholung)

Sicherheitsbestände gleichen Nachfrageschwankungen über die Zeit aus. Sei \(S\) der Anfangslagerbestand zu Begin der Risikoperiode und \(\mu\) der erwartete Bedarf in der Risikoperiode, dann gilt für den Sicherheitsbestand \(sb\): \(sb = S - \mu\)

Beispiel: Das Zentralwerk Wiesbaden-Erbenheim bestellt frische Lachsfilet-Kisten periodisch beim Fischgroßhändler.

Festlegung von Sicherheitsbeständen

  • nach Kosten: Sicherheitsbestände verursachen Lagerhaltungskosten und vermeiden Fehlmengenkosten \(\rightarrow\) Kostenabwägung
  • Lieferbereitschaft: Absicherung des Risikos, im Risikozeitraum nicht lieferfähig zu sein (\(\alpha\)-Servicegrad)
  • Versorgungsgrad: Anteil der Nachfrage, die langfristig innerhalb des Risikozeitraums erfüllt werden soll (\(\beta\)-Servicegrad)

Sicherheitsbestände

\(\alpha\)-Servicegrad und empirische Verteilungsfunktion

Gehen Sie davon aus, dass ein Fehlmengenrisiko von 5% akzeptable ist und der \(\alpha\)-Servicegrad daher 95% beträgt. Frage: Welcher (minimale) Anfangslagerbestand sichert diesen Servicegrad? Antwort: Formal soll gelten \(P(d \leq S) \geq \alpha\). Für eine empirische Nachfrageverteilung \(F(d)\) gilt also \(\hat{F}(S) \geq \alpha\) oder \(S \geq \hat{F}^{-1}(\alpha)\). Wir suchen also ein (empirisches) Quantil.

μ = 89 | n = 12
Rang dt Anzahl F̂(d)
1 76 1 8.3 %
2 78 1 16.7 %
3 79 1 25 %
4 85 1 33.3 %
5 87 1 41.7 %
6 91 1 50 %
7 92 2 66.7 %
8 93 1 75 %
9 95 1 83.3 %
10 96 1 91.7 %
11 104 1 100 %

Sicherheitsbestände \(sb=S-\mu\): \(sb_{75\%}=4\), \(sb_{90\%}=7\), \(sb_{95\%}=15\)

Lagerbestandspooling

Sicherheitsbestände bei dezentraler und zentraler Lagerhaltung

Dezentrales Netzwerk

Zentrales Netzwerk (Pooling)

Einsparung an Sicherheitsbestand: \(sb_{dezentral}=sb_{A}+sb_{B}=27.5\) vs. \(sb_{0}=22.5\) \(\rightarrow\) 5 Einheiten oder 18 %

Lagerbestandspooling

Sicherheitsbestände bei bekannter Nachfrageverteilung

Nachfrageverteilung

Oft wird davon ausgegangen, dass die Nachfrage nach Gütern in einer bestimmten Zeitspanne eine Zufallsvariable ist, deren Verteilungsparameter (wie Mittelwert und Varianz) bekannt sind oder geschätzt werden können. Reale Daten weichen davon oft ab — simuliert am Beispiel Frankfurt/Offenbach mit gelegentlichen, gemeinsamen Feiertags-Spitzen.

Datenbasis: Simulierte tägliche Nachfrage über 250 Tage (set.seed(616), Details siehe R-Code)

  • ECDF (durchgezogen) = empirische Verteilung
  • Normalverteilung (gepunktet) = parametrisches Modell
Filiale μ̂ σ̂ KS p-Wert emp. SB (α=95%) param. SB
Frankfurt 294 65 0.000 366 400
Offenbach 95 23 0.001 120 132

Die gemeinsamen Feiertags-Spitzen erzeugen in beiden Filialen eine rechtsschiefe, deutlich von der Normalverteilung abweichende Verteilung (KS-Test: p < 0,01 für beide) — der empirische Sicherheitsbestand fällt entsprechend niedriger aus als der parametrische.

Lagerbestandspooling

Normalverteilte Nachfrage – Sicherheitsbestand für zwei Standorte

Seien \(D_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\) und \(D_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\) die normalverteilten Nachfragen an zwei Standorten mit Korrelation \(\rho = \text{Cor}(D_1, D_2)\).

Der Sicherheitsbestand am Standort \(i\) bei \(\alpha\)-Servicegrad beträgt: \(sb_i = z_\alpha \cdot \sigma_i\), sodass in Summe: \(sb_{dez} = z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)\)

Zentrales Lager: Verteilung der Gesamtnachfrage

Die aggregierte Nachfrage \(D_0 = D_1 + D_2\) ist ebenfalls normalverteilt:

\[D_0 \sim \mathcal{N}\!\left(\mu_1 + \mu_2,\; \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2\right)\]

Damit gilt für den zentralen Sicherheitsbestand:

\[sb_{zen} = z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2}\]

Vergleich dezentral vs. zentral

Konfiguration Sicherheitsbestand
Dezentral (2 Lager) \(z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)\)
Zentral (\(\rho = -1\)) \(z_\alpha \cdot \|\sigma_1 - \sigma_2\|\)
Zentral (\(\rho = 0\)) \(z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\)
Zentral (\(\rho = +1\)) \(z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2)\)

\(\rightarrow\) \(\|\sigma_1 - \sigma_2\| \leq \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \leq \sigma_1 + \sigma_2\) \(\rightarrow\) Pooling lohnt sich, solange \(\rho < 1\)

Je kleiner die Korrelation \(\rho\), desto größer das Einsparungspotenzial durch zentrales Pooling. (Risikoausgleichseffekt)

Kernergebnis

Sicherheitsbestand für alle sechs SushiFresh-Filialen (\(\alpha = 95\%\))

Mit qnorm() verifiziert

  • \(z_{0{,}95} =\) 1.645
  • Dezentral: \(sb_{dez}=z_\alpha\sum\sigma_i=\) 289.5 Boxen
  • Zentral (gepoolt, unabhängig): \(sb_{zen}=z_\alpha\sqrt{\sum\sigma_i^2}=\) 127.5 Boxen
  • Einsparung durch Konsolidierung: 56 %

Gegenprobe pooling_safety_stock(): für 6 identische Filialen mit \(\bar\sigma=\) 29.3 ergäbe sich eine Einsparung von 59 % — mehr als die tatsächlichen 56 %. Der dominante, volatile Standort Frankfurt (\(\sigma=55\)) schmälert den relativen Pooling-Vorteil gegenüber dem idealisierten Fall gleich großer Standorte.

56,0 % weniger Sicherheitsbestand durch die Zentralisierung auf Wiesbaden-Erbenheim — bei identischem Servicegrad.

Lagerbestandspooling

Empirische Illustration

negative Korrelation \(\rho = -0.8\)

keine Korrelation \(\rho = 0\)

positive Korrelation \(\rho = +0.8\)

Bei negativer Korrelation dämpfen sich die Schwankungen von \(D_0\) gegenseitig — die Gesamtnachfrage ist stabiler als die Einzelnachfragen. Bei positiver Korrelation verstärken sie sich.

Lagerbestandspooling

Sicherheitsbestand in Abhängigkeit der Korrelation \(\rho\)

Drei Szenarien (Wiesbaden \(\sigma_1=25\), Mainz \(\sigma_2=30\), \(\alpha = 95\%\))

\(\rho\) \(sb_{zen}\) Einsparung
\(-0.8\) 29.7 67.2 %
\(\;\;\;0\) 64.2 29 %
\(+0.8\) 85.9 5.1 %
\((+1)\) 90.5 0 %

\(sb_{dez} = z_\alpha \cdot (\sigma_1 + \sigma_2) =\) 90.5

Zentralitätsgewinn wenn \(\sigma_1 \neq \sigma_2\)

\[1-\frac{sb_{zen}}{sb_{dez}} = 1-\frac{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2}}{\sigma_1 + \sigma_2}\]

Zentralitätsgewinn wenn \(\sigma_1 = \sigma_2\)

\[1-\frac{sb_{zen}}{sb_{dez}} = 1-\sqrt{\frac{1+\rho}{2}}\]

Lagerbestandspooling

Simulierte Tagesnachfrage: Frankfurt & Offenbach

Kennzahl Frankfurt Offenbach Gesamt / Pool
μ̂ 294.1 94.9 389
σ̂ 64.7 22.8 79.6
SB dezentral (emp.) 71.5 25.1 96.6
SB zentral (emp.) — — 80.5
Einsparung (emp.) — — 16.7 %
SB dezentral (norm.) 106.4 37.5 143.9
SB zentral (norm.) — — 130.8
Einsparung (norm.) — — 9.1 %

Korrelation \(\hat{\rho} =\) 0.55 \(\rightarrow\) Pooling-Einsparung empirisch: 16.7 %, parametrisch: 9.1 %

Exkurs: Normalverteilung

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion & Verteilungsfunktion

Formale Definition

Dichtefunktion \(f(x)\) gibt die relative Häufigkeit an, mit der ein Wert \(x\) auftritt und Verteilungsfunktion \(F(x)\) ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \qquad F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\]

Symmetrie-Eigenschaft und 68–95–99,7-Regel::

\[F(-z) = 1 - F(z)\]

Wertebereich Wahrscheinlichkeit
\(\mu \pm 1\sigma\) ≈ 68,3 %
\(\mu \pm 2\sigma\) ≈ 95,4 %
\(\mu \pm 3\sigma\) ≈ 99,7 %

Exkurs: Standardnormalverteilung

z-Transformation & Standardisierung

z-Transformation überführt jede Normalverteilung \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) in die Standardnormalverteilung \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\):

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \quad \Rightarrow P(X \leq x) = P\!\left(Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \Phi(z)\] \(\rightarrow\) alle \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) lassen sich auf eine Tabelle zurückführen — die Standard-Normalverteilungstabelle \(\Phi(z)\)

Wichtige Quantile der \(\mathcal{N}(0,1)\):

Servicegrad \(\alpha\) \(z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha)\)
90,0 % 1,282
95,0 % 1,645
97,5 % 1,960
99,0 % 2,326
99,9 % 3,090

Exkurs: Quantils-/Verteilungstabelle

Ablesen von \(\Phi(z)\) und Umkehrung \(z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha)\)

Φ(z) — Standardnormalverteilung (z ≥ 0)
+0.00 +0.01 +0.02 +0.03 +0.04 +0.05 +0.06 +0.07 +0.08 +0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

Ablesen der Tabelle:
Gesucht: \(P(X \leq x)\) für \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)

  1. Berechne \(z = (x - \mu)/\sigma\)
  2. Zeile = erste Dezimalstelle von \(z\)
  3. Spalte = zweite Dezimalstelle von \(z\)
  4. Tabellenwert = \(\Phi(z)\)

Beispiel Lagerbestand:
\(D \sim \mathcal{N}(500, 80^2)\), Servicegrad \(\alpha = 95\,\%\)

\[z_{0{,}95} = \Phi^{-1}(0{,}95) = 1{,}645\]

\[\Rightarrow\; \text{SB} = z_\alpha \cdot \sigma = 1{,}645 \cdot 80 \approx \mathbf{132\;\text{Stück}}\]

Cachon, Gérard, and Christian Terwiesch. 2024. Matching Supply with Demand: An Introduction to Operations Management. 5th ed. McGraw Hill.
Chopra, Sunil, and Peter Meindl. 2025. Supply Chain Management: Strategy, Planning, and Operation. 8th ed. Pearson.
Silver, Edward A., David F. Pyke, and Douglas J. Thomas. 2017. Inventory and Production Management in Supply Chains. 4th ed. CRC Press.